Лабораторная работа №1
По предмету: Эконометрика

Задание
1. Постройте поле сравнения и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры линейной, степенной, гиперболической парной регрессии.
3. Оцените тесную связь с помощью показателей сравнения и определения.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы фактора связи с результатом.
5. Оцените качество модели с помощью аппроксимации средней ошибки.
6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в п. 4, 5 и в данном исследовании выберите лучшую формулу регрессии и дайте ее обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня открытия α=0,05.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Аналитическая записка.
1. Строим поле сравнения. Оно имеет следующий вид:

Судя по расположению точки, делает предположение, что форма связи – степенная.

2. Линейная регрессия.
Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных результатов относительно a и b:

По исходным данным вычисляем ∑y, ∑x2, ∑x, ∑y2.
y x yx x^2 y^2
1 461 632 291352 399424 212521
2 524 738 386712 544644 ​​274576
3 298 515 153470 265225 88804
4 351 640 224640 409600 123201
5 624 942 587808 887364 389376
6 584 888 518592 788544 341056
7 425 704 299200 495616 180625
8 277 603 167031 363609 76729
9 321 439 140919 192721 103041
10 573 985 564405 970225 328329
11 576 735 423360 540225 331776
12 588 760 446880 577600 345744
13 497 830 412510 688900 247009
14 863 2093 1806259 4380649 744769
итого 6962 11504 6423138 11504346 3787556
сред знач 497,2857143 821,7142857 458795,6 821739 270539,7
сигмаквх= 146524,6327
сигмакву= 23246,63265
сигмах= 382,7853611
сигмау= 152,4684645

Получена линейная формула : у = 0,3424х + 215,9.
Вывод: с учетом денежных доходов на душу населения на 1 руб, доля потребительских расходов на душу населения увеличивается в среднем на 0,34 %-ных пунктов.
Степенная регрессия.
Построению степенной модели y = axb предшествует процесс линеаризации процедуры. Линейная корректировка путем логарифмирования частей уравнения.
lg y=lg a + b lg x Y = lg y C=lg a
Y = C + b Х X = lg x
Y X YX X^2 Y^2
1 2,663700925 2,800717078 7,460273 7,844016153 7,095303
2 2,719331287 2,868056362 7,799195 8,225747295 7,394763
3 2,47421 6264 2,711807229 6,709598 7,353898447 6,121746
4 2 ,545307116 2,806179974 7,14259 7,874646046 6,478588
5 2,79518459 2,974050903 8,313021 8,844978772 7,813057
6 2,766412847 2,948412966 8,156528 8,693139017 7,65304
7 2,62838893 2,847572659 7,484528 8,108670049 6,908428
8 2,442479769 2,780317312 6,790869 7,730164356 5,965707
9 2,506505032 2,6424645 2 6,623351 6,982618741 6,282567
10 2,758154622 2, 99343623 8,25636 8,960660466 7,607417
11 2,760422483 2,866287339 7,912164 8,21560311 7,619932
12 2,769377326 2,880813592 7,97806 8,299086953 7,669451
13 2,696356389 2,919078092 7 ,870875 8,521016909 7,270338
14 2,936010796 3,320769228 9,749814 11,02750827 8,620159
итого 37,46184838 40,35996349 108,2472 116,6817546 100,5005
сред знач 2,675846313 2,882854535 7, 731945 8,334411042 7,178607
сигмаквх= 0,023560773
Рассчитаем С и В:

Получим линейное уравнение: y’=0,4893 +0,75842x
Выполнив его потенцирование получается: y’=100,48943 x0,75842 =3,0864×0, 75842 .
Равносторонняя гипербола.
Уравнение равносторонних гипербол имеет вид линеаризуется при замене. Тогда у=а+bz.
y z yz z^2 y^2
1 461 0,001582278 0,72943 2,50361E-06 212521
2 524 0,001355014 0,710027 1,83606E-06 274576 3
298 0,001941748 0,578641 3,77038E-06 88804
4 351 0,0015625 0,548438 2,44141E-06 123201
5 624 0,001061571 0,66242 1,12693E-06 389376
6 584 0,001126126 0,657658 1,268 16Э-06 341056
7 425 0,001420455 0,603693 2,01769E-06 180625
8 277 0,001658375 0,45937 2,75021E-06 76729
9 321 0,002277904 0,731207 5,18885E-06 103041
10 573 0,001 015228 0,581726 1,03069E-06 328329
11 576 0,001360544 0,783673 1,85108E-06 331776
12 588 0,001315789 0,773684 1,7313E-06 345744
13 497 0,001204819 0,598795 1,45159 Е-06 247009
14 863 0,000477783 0,412327 2, 28277E-07 744769
итого 6962 0,019360135 8,83109 2,91962E-05 3787556
сред знач 497,2857143 0,001382867 0,630792 2,08545E-06 270539,7
сигмаквз= 1,73125E-07

Значения параметров a и b регрессии итоги:

.
Получено уравнение у=951,6877-328594,21 .

3. Оценим тесную связь с помощью показателей сравнения и определения.
Рассчитаем линейный коэффициент парной зависимости: .
Определим коэффициент определения: R2=(0,8596)2=0,7389.
Вариация результата на 73,89% Определена вариация фактора х.
Связь тесная.

Подводя полученное уравнение степенной функции фактические значения х, получаем теоретические значения результата y’x.
.
Определим коэффициент определения: ρ2=(0,857)2=0,7345.
Связь тесная.

Индекс соответствия для равносторонних гипербол:
.
Определим коэффициент определения: ρ2=(0,8967)2=0,8041.
Связь тесная.
Вывод: Так как ρ2 равносторонних гипербол больше, чем R2 линейной и ρ2 степенной функций, то построенная гиперболическая модель лучше отражает регрессионную зависимость между х и у.

4. Дадим с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Определим коэффициент эластичности для линейной функции y=a+bx
Первая производная uh’=b,

Определим коэффициент эластичности для степенной функции y = axb
Первая производная uh’=abxb-1,

Определим коэффициент эластичности для гиперболической
первой производной uh’= ,
С корреляция значений , делаем вывод, что наибольший коэффициент эластичности принадлежит степенной модели (=0,7584%), т.е. Здесь при сохранении денежных доходов на 1% потребительские расходы на душу населения изменяются на 0,7584%. Несколько меньшее влияние имеет фактор х в гиперболической модели, и самое незначительное – в линейной.

5. Оценим качество модели с помощью аппроксимации средней ошибки.
Для оценки качества построенных моделей используйте формулу расчета средней ошибки аппроксимации.
Найдем среднюю среднюю ошибку аппроксимации для линейных моделей:
y x ​​y’ у-у’ Ai
1 461 632 432,3291 28,67085 0,062193
2 524 738 468,6227 55,37735 0,105682
3 298 515 392,2693 – 94,2693 0,31634
4 351 640 435,0683 -84,0683 0,239511
5 624 942 538,4705 85,52947 0,137066
6 584 888 519,9814 64,01862 0,109621
7 4 25 704 456,9813 -31,9813 0,07525
8 277 603 422,3998 -145,4 0,524909
9 321 439 366,2476 -45,2476 0,140958
10 573 985 553,1934 19,80664 0,034567
11 57 6 735 467,5955 108,4045 0,188202
12 588 760 476,1553 111,8447 0,190212
13 497 830 500,1227 -3,12267 0,006283
14 863 2093 932,5632 -69,5632 0,080606
итого 6962 11504 2,211401
сред знач 497 ,2857 821,7143 15,7957
A= 15,7957, а это намного больше допустимых значений.

Найдем среднюю среднюю ошибку аппроксимации для степенной модели:
y x ​​y’ yy’ Аi
1 461 632 410,7251 50,27492 10,90562
2 524 738 461,9795 62,02049 11,83597
3 298 515 351,6577 -53,6577 18, 00595
4 351 640 414,6621 -63,6621 18,13736
5 624 942 555,9185 68,08148 10,91049
6 584 888 531,5778 52,42223 8,97641
7 425 704 445,746 -20,746 4,881412
8 277 603 396,3507 -119,351 43,08689 9
321 439 311,5 511 9,448936 2,943594
10 573 985 575,0603 -2,06029 0,359561
11 576 735 460,5545 115,4455 20,04262
12 588 760 472,3871 115,6129 19,66205
13 497 830 505,0317 -8,0317 1 ,616037 14 863 2093
1018,52 -155,52 18,02082
итого 6962 11504 189,3848
средние значки 497,2857 821,7143 13,52749
А= 13,5275- значение А значения в области допустимых значений.

Найдем среднюю среднюю ошибку аппроксимации для гиперболической модели:
y x ​​y’ yy’ Ai
1 461 632 431,7602 29,23981 6,342693
2 524 738 506,4381 17,56187 3,351503
3 298 515 313,6407 -15,6407 5, 248565
4 351 640 438,2593 -87,2593 24,86019
5 624 942 602,8616 21,13839 3,387563
6 584 888 581,6492 2,350791 0,402533 7 42 5 704
484,9346 -59,9346 14, 10226
8 277 603 406,7554 -129,755 46,8431
9 321 439 203,1816 117,8184 36,70356
10 573 985 618,0896 -45,0896 7,869032
11 576 735 504,6208 71,37922 12,39223
12 588 760 519,3269 68,67307 11,67909
13 497 830 555,7911 -58,7911 11,82919
14 863 2093 794,691 68,30902 7,915298
итого 6962 1150 4 192,9268
сред знач 497,2857 821,7143 13, 78049
А= 13, 78049 – значение А в области допустимых оценок.

По проведенным расчетам можно сделать вывод, что степенная модель более точная, т.к. Имеет меньшее значение средней ошибки аппроксимации (А= 13,5275). Менее точная гиперболическая (А= 13,78049), а самая неточная – линейная (А= 15,7957).

6. Оценим статистическую надежность результатов регрессионного исследования с помощью F-критерия Фишера.
Для этого используем формулу: , где R2 – определение индекса, n-число наблюдений, m – число параметров при процедуре х.
Для линейной регрессии Fфактич= 33,9627, Fтабл= 4,75 при уровне промышленности α=0,05.
Ффактич> Fтабл, следовательно, связь существенная.
Для степенной регрессии Fфактич= 33,20038, Fтабл= 4,75 при уровне инновации α=0,05. Ффактич> Fтабл, следовательно, связь существенная.
Для гиперболической регрессии Fфактич= 49,26083, Fтабл= 4,75 при уровне инновации α=0,05. Ффактич> Fтабл, следовательно, связь существенная.

Вывод: По значениям характеристик, рассчитанных в 4,5 и 6 пунктах, можно сделать следующий вывод. Наиболее вероятно зависимость потребительских расходов на душу населения от доходов на душу населения отражает степенную модель (наибольший коэффициент эластичности =0,7584%, наименьшая ошибка аппроксимации А= 13,5275 и Fфактична величина больше Fтаблицы). Менее точная – гиперболическая модель, самая неточная – линейная.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня; и определяем доверительный интервал прогноза для уровня открытия α=0,05.
Если прогнозная величина денежных доходов на душу населения составит тыс. руб., тогда прогнозное значение потребительских расходов составит: тыс. руб. руб.
Ошибка прогноза получаем: , где .
тыс. руб.

тыс. руб.
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет чрезмерной, определяет:
.
Доверительный интервал прогноза для уровня рождаемости α=0,05:
γyp=887,4514±87,1865
γypmin= 887,4514 – 87,1865 = 800,2649 тыс.руб.
γypmax= 887,4514 + 87,1865 = 974,6379 тыс.руб.

Вывод: Выполненный прогноз оказался надежным (p=1-α=1-0,05=0,95), нонеточным, т.к. Диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D составляет 1,22.