Эксперт
Сергей
Сергей
Задать вопрос
Мы готовы помочь Вам.

Задания контрольной работы № 1

Элементы линейной алгебры. Элементы векторной алгебры.
Элементы аналитической геометрии

11-20. Даны координаты вершин пирамиды Найти: 1) длину ребра 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7)уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

21. Даны две вершины треугольника и точка пересечения его медиан Найти координаты вершины
22. Дано уравнение из сторон квадрата и точка пересечения его диагоналей , найти уравнения трёх остальных сторон квадрата.
23. Составить уравнения сторон треугольника , если известны координаты его вершин и точка пересечения его высот
24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами
25. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке
26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин и уравнения двух его высот и .
27. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а также уравнения высоты и медианы .
28. Через точку проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
29. Даны две вершины треугольника и Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины
30. Даны уравнения двух сторон квадрата и одна из его вершин .Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

51-60. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Введение в математический анализ

111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной
141-150. Найти производные данных функций.

 

Приложение дифференциального исчисления
к исследованию функций и построению их графиков

181. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72 см , причем стороны основания относились бы как 1:2 . Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
182. Объём правильной треугольной призмы равен . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
183. Открытый чан объема имеет форму цилиндра. Каковы должна быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?
184. Найти соотношение между радиусом и высотой цилиндра, имеющего при данном объёме наименьшую полную поверхность.
185. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна высота воронки, чтобы её объём был наибольший?
186. Периметр равнобедренного треугольника равен . Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
187. Периметр равнобедренного треугольника равен . Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг его высоты, был наибольшим?
188. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .
189. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .
190. Полотняный шатер объёмом имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

191-200. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить её график.

Форма промежуточного контроля
Экзамен
Перечень примерных вопросов для подготовки к экзамену
1. Элементы теории множеств: множества и операции над ними, в том числе – прямое произведение множеств.
2. Определители и их свойства.
3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы.
4. Системы линейных уравнений. Критерий существования и единственности решения. Теорема Кронекера-Капелли. Методы решения: правило Крамера, матричный способ, метод Гаусса.
5. Геометрические векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора и их свойства. Теоремы о линейно зависимых и независимых векторах. Критерии коллинеарности и компланарности векторов.
6. Декартова система координат. Координаты вектора, заданного началом и концом. Деление отрезка в данном отношении.
7. Декартова прямоугольная система координат. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора. Орт вектора.
8. Полярная система координат. Связь между координатами точки плоскости, заданными в полярной и декартовой прямоугольной системах координат.
9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Теорема об ортогональности двух ненулевых векторов. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Выражение длины вектора и угла между векторами, заданными координатами, через их скалярное произведение.
10. Правый и левый базисы. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение координат векторного произведения через координаты сомножителей. Критерий коллинеарности векторов.
11. Смешанное произведение векторов и его свойства. Связь между скалярным, векторным и смешанным произведениями векторов. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей. Критерий компланарности векторов.
12. Уравнение кривой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости (всевозможные способы задания). Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
13. Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость в пространстве (всевозможные способы задания). Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
14. Уравнения кривой в пространстве. Прямая в пространстве (всевозможные способы задания). Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
15. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Классификация кривых второго порядка.
16. Поверхности второго порядка. Сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические и конические поверхности. Классификация поверхностей второго порядка.
17. Комплексные числа. Геометрическое изображение. Модуль и аргумент. Три формы записи. Формула Эйлера. Операции над комплексными числами. Формулы Муавра-Лапласа.
18. Многочлены и алгебраические уравнения в комплексной области. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
19. Понятие об n-мерном евклидовом пространстве. Открытое, замкнутое, связное множества. Окрестность точки, область, замкнутая область. Граничные точки, граница множества.
20. Понятие числовой функции одной переменной. Область определения. Множество значений. Сюръективная, инъективная, биективная функции. Суперпозиция функций. Способы задания, свойства функций одной переменной. Обратная функция. График функции.
21. Понятие элементарной функции. Простейшие элементарные функции. Классификация элементарных функций.
22. Последовательности. Предел последовательности. Число e.
23. Предел функции одной переменной (в точке, в “бесконечности”). Бесконечно большие функции. Односторонние пределы.
24. Бесконечно малые функции (БМФ) и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
25. Основные теоремы о пределе функции (выражение функции, стоящей под знаком предела, через сумму ее предела и бесконечно малой; пределы результатов арифметических действий над функциями; предел промежуточной функции; переход к пределу в неравенствах; совпадение односторонних пределов и др.)
26. Неопределенности. Первый и второй замечательные пределы.
27. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные БМФ. Таблица эквивалентных БМФ.
28. Техника вычисления пределов.
29. Непрерывность функции одной переменной в точке, на множестве. Непрерывность результатов арифметических действий над функциями, сложной функции, элементарной функции. Подведение знака предела под знак непрерывной функции. Точки разрыва функции и их классификация.
30. Некоторые свойства непрерывных на отрезке функций.
31. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная от функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.
32. Непрерывность дифференцируемой функции.
33. Дифференцирование результатов арифметических действий над функциями.
34. Дифференцирование сложной функции.
35. Дифференцирование основных элементарных функций (таблица основных производных).
36. Дифференцирование неявных, обратных, параметрически заданных функций.
37. Дифференцирование степенно-показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
38. Дифференциал функции одной переменной и его основные свойства. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности формы. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
39. Производные и дифференциалы функции одной переменной различных порядков.
40. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши дифференциального исчисления функции одной переменной.
41. Теоремы Лопиталя. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
42. Исследование функции одной переменной с помощью производной на возрастание и убывание.
43. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.
44. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
45. Асимптоты кривой.
46. Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика.
47. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции.

Была ли полезна данная статья?
Да
64.75%
Нет
35.25%
Проголосовало: 139

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram