В задании рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов: p₁=0.3, p₂=0.2, p₃=0.1, p₄=0.1, p₅=0.2, p₆=0.2, p₇=0.3.

При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С_1, блока В – С₂ единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.

1. Найти случайную величину  — стоимость восстановления прибора за период времени Т;

1.1. построить её ряд и функцию распределения;

1.2. вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений):

  2.1. найти экспериментальные ряд и функцию распределения;

2.2. найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

2.3. построить графики теоретических и экспериментальных ряда и функции распределения.

3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому с уровнем значимости =0,05.

Замечание: расчеты произвести с точностью до четырех знаков после запятой.

Вариант задания выбирается по последней цифре пин-кода 

Выполнение задания 1.

Перед решением задач по этой теме следует усвоить основные понятия, связанные со случайными величинами: дискретные и непрерывные случайные величины, законы их распределения; изучить примеры распределений; оценить роль числовых характеристик случайных величин.

Прибор состоит из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых собран из нескольких независимых элементов (рис.1), вероятности отказов которых

р₁ = р₂ = 0.2, р₃ = р₄ = р₇ = 0.3; р₅ = р₆ = 0.25, р₈ = 0.278

 

 

 

 

 

Рис 1

При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А равна С₁ = 5 единицам стоимости, блока В – С₂ = 10 единиц. Предполагается, что за определенный период времени Т ни один блок не потребует повторной замены.

Найти случайную величину  — стоимость восстановления прибора за период времени Т:

1) построить ряд и функцию распределения,

2) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,

3) построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Решение. 1. Определим значения случайной величины , которая является дискретной. Случайная величина  «стоимость ремонта» может принимать только четыре значения.

 

                             х₁ = 0 — ни один блок не потребует замены;

                            х₂ = С₁ = 5 — только блок А потребует замену;

                            х₃ = С₂ = 10 — только блок В потребует замену;

                            х₄ = С₁ +С₂ = 15 — оба блока потребуют замену.

 

              Чтобы вычислить вероятность каждого из значений х_i, следует сначала найти вероятности выхода из строя блоков А и В.

              Обозначим А — выход из строя блока А, A_i – отказ i-го элемента (i = 1,2,3,4). Блок А откажет, если откажет хотя бы одна из его частей (первая часть состоит из элементов 1 и 2, вторая – 3 и 4). Первая часть откажет, если откажут оба элемента (если два события происходят одновременно – это произведение), т.е. произойдет событие А₁А₂, вторая часть откажет, если произойдет А₃ А₄.

Чтобы отказал весь блок А, достаточно, чтобы отказала либо первая часть элементов, либо вторая (это сумма событий. .По определению суммы событий

А = А₁ А₂ + А₃ А₄.

Существуют две теоремы сложения вероятностей. Если события несовместные (не могут произойти одновременно)

Р(А) = Р(А₁ +А₂ ) = Р(А₁) + Р( А₂).

 

Если события совместные (могут произойти одновременно)

Р(А) = Р(А₁ +А₂ ) = Р(А₁) + Р( А₂) – Р(А₁ А₂ )

У нас события совместные – все элементы при резком броке напряжения могут отказать одновременно.

В силу теоремы сложения вероятностей совместных событий

 

Р(А) = Р(А₁ А₂ + А₃ А₄) = Р(А₁ А₂) + Р( А₃ А₄) – Р(А₁ А₂ А₃ А₄)

 

В силу независимости событий А_i, получим вероятность отказа блока А:

 

Р(А) = Р(А₁) ·Р(А₂) + Р(А₃)· Р(А₄) — Р(А₁)·Р(А₂)· Р(А₃) ·Р(А₄) =

= 0.2·0.2 + 0.3·0.3 – 0.2·0.2·0.3·0.3 = 0.1264.

 

Сразу определим вероятность того, что блок А не откажет за время Т (событие ) Р( ) = 1- Р(А) = 1-0.1264 = 0.8736.

 

              Обозначим В – выход из строя блока В, а В_i – отказ i-го элемента (i = 5,6,7,8).

Блок В потребует ремонта, если откажут все элементы ветви, состоящей из элементов 5, 6 и 7, или элемент 8, а также если откажут все четыре элемента, т.е. событие В может быть записано следующим образом

В = В₅ В₆ В₇ + В_8.

              В силу совместности и независимости событий В_i (i = 5,6,7,8) вероятность события В (отказ блока В) определяется формулой:

 

Р(В) = Р(В₅) Р(В₆) Р(В₇) + Р(В₈) — Р(В₅) Р(В₆) Р(В₇) Р(В₈).

 

Таким образом,

Р(В) = р₅р₆р₇ + р₈ — р₅р₆р₇р₈ = 0.25·0.25·0.3+ 0.278- 0.25·0.25·0.3 ·0.278=0.2915.

 

Найдем вероятность безотказной работы блока В.

 

Р( ) = 1 – Р(В) = 1 – 0.2915 = 0.7085.

Найдем вероятности значений случайной величины  — отказ всего прибора.

              Случайная величина имеет значение х₁ = 0, если произойдет событие · (оба блока исправны за время Т). События и независимы, поэтому

Р(=0) = Р( )Р( ) = 0.8736 · 0.7085 = 0.6189

(ограничились при вычислениях четвертым знаком после запятой).

Значение х₂ = 5 принимается, если отказывает блок А и не отказывает блок В, т.е.

  Р(=5) = Р(А)Р( ) = 0.1264 · 0.7085 = 0.0896.

Значение х₃ = 10 принимается, если отказывает блок В и не отказывает блок А, т.е.

  Р(=10) = Р( В), т.к. должен отказать только блок В, т.е.

 

  Р(=10) = 0.8736 · 0.2915 = 0.2547.

 

И наконец, значение х₄ = 15 принимается, если отказывает блок В и отказывает блок А, т.е.

  Р(=15) = Р(А В) = Р(А)Р(В) = 0.1264 · 0.2915 = 0.0368.

 

              Сведем полученные результаты в таблицу 1, которая и будет рядом распределения рассматриваемой случайной величины 

Таблица 1

хi	0	5	10	15	
рi	0,6189	0.0896	0.2547	0.0368	1.0000

 

Замечание. Просуммировав все вероятности и получив 1, убедимся, что избежали грубых ошибок при вычислениях.

Построим многоугольник распределения (рис 2): по оси абсцисс откладываем значения случайной величины х_i, а по оси ординат значения их вероятностей р_i.

  р_i

  0.7

  0.6

  0.5

  0.4

  0.3

  0.2

  0.1

  0 5 10 15             х_i

Рис. 2

Найдем функцию распределения случайной величины, используя соотношение:

которая является одним из свойств дисперсии (“Дисперсия есть разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания”). Все вычисления удобно вести в таблице 2.

Таблица 2

хi	0	5	10	15	∑
	0.6189	0.0896	0.2547	0.0368	1.0000
	0	0.4480	2.547	0.5520	3.5470 = M[]
	0	2.2400	25.47	8.2800	35.1900 = M[2]
					12.5812 = (M[])2
					23.4080 = D[]
					= 4.8382

 

Процесс вычисления достаточно ясен из самой таблицы. Первые две строки – ряд распределения случайной величины. Третья строка – произведение значений случайной величины на их вероятности; сумма в этой строке и даст математическое ожидание случайной величины согласно формуле (1). Четвертая строка – произведение квадрата значений случайной величины на их вероятности (достаточно умножить элементы третий строки на элементы первой); сумма их равна математическому ожиданию квадрата случайной величины. Вычитая из этой величины квадрат математического ожидания, получим дисперсию, а извлечение корня из последней даст среднее квадратическое отклонение.

Итак, случайная величина “стоимость ремонта” имеет среднее значение 3.547 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 4.8382.

 

 

 

Выполнение задания 2.

Перед тем как приступить к решению второй половины задачи, следует изучить такие понятия как выборка, случайные числа; случайные числа распределенные по определенному закону; эмпирические (экспериментальные) ряд и функция распределения; оценки параметров распределения; метод жребия моделирования дискретной величины; критерии Пирсона оценки достоверности гипотезы, доверительные вероятности и интервалы.

  Коротко рассмотрим, в чем заключается метод жребия моделирования дискретной случайной величины. Пусть событие А может произойти с вероятностью р, и пусть очередное значение случайного числа r_i (Случайное число – значение не прерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0,1]). Если r_i  р , то оно принадлежит интервалу , поэтому считаем, что событие А наступило. Если r_iр, то считается, что событие А не наступило.

  Поскольку значения случайной величины ни что иное, как случайные события, процедура моделирования дискретной случайной величины с заданным законом распределения аналогична моделированию случайного события.

  Пусть дискретная случайная величина задана теоретическим рядом распределения.

	х1	х2	х3	…	хn
pi	р(х1)	р(х2)	р(х3)	…	р(хn)

Присваиваем случайной величине :

— значение х₁, если значение случайного числа r_ip(х₁),

— значение х₂, если p(х₁)<r_ip(х₁)+p(х₂),

— т.е. в общем случае, если , то случайной величине  присваивается значение х_m

Пример 2.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения, приведенным в таблице 3.

  Таблица 3

хi	0	5	10	15
pi	0.6189	0.0896	0.2547	0.0368

  1. Построить модель этой случайной величины для партии из 25 приборов (методом жребия получить её 25 значений); найти экспериментальные ряд и функцию распределения, построить их графики;

  2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

                Решение. . Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел r_j, т.е. значений случайной величины равномерно распределенной в интервале .

Эти значения приведены в Приложении 1. Моделируемые значения случайной величины обозначим Z_j

(j= 1,2,…,25). Заметим, что каждое из них следует рассматривать как случайную величину.

              Для рассматриваемой случайной величины правило моделирования примет вид:

  —  примет значение 0, если r_j  0.6189,

  — значение 5, если 0.6189 r_j 0.7085,

  — значение 10, если 0.7085 r_j 0.9631,

  — значение 15, если r_i 0.9631.

  Для удобства использования правила можно свести в таблицу 4.

  Таблица 4

Замечание. Ззначения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой.

 

  Приступая к моделированию  возьмем первое число из таблицы Приложения 1.

Для того, чтобы начало моделирования было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с 9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, r₁= 0.67, оно принадлежит второму интервалу, поэтому х₁=5. Таким образом, найдена стоимость ремонта прибора за первый моделируемый период времени. Аналогично моделируются стоимости остальных периодов. Следующие случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строке влево или вправо. При движении вправо второе число 43, т.е. r₂=0.43, оно из интервала , поэтому х₂=0.

Сведем процесс нахождения реализаций  в таблицу 5.

Таблица 5

j	rj	интервал	zj	j	rj	интервал	zj
1	0.67	0.619;0.708	5	13	0.35	0;0.619	0
2	0.43	0;0.619	0	14	0.98	0.965;1.000	15
3	0.97	0.963;1.000	15	15	0.95	0.708;0.963	10
4	0.04	0;0.619	0	16	0.11	0;0.619	0
5	0.43	0;0.619	0	17	0.68	0.6194;0.708	5
6	0.62	0.619;0.708	5	18	0.77	0.708;0.963	10
7	0.76	0.705;0.963	10	19	0.12	0;0.619	0
8	0.59	0;0.619	0	20	0.17	0;0.619	0
9	0.63	0.619;0.708	5	21	0.17	0;0.619	0
10	0.57	0;0.619	0	22	0.68	0.619;0.708	5
11	0.33	0;0.619	0	23	0.33	0;0.619	0
12	0.21	0;0.619	0	24	0.73	0.708;0.963	10
				25	0.79	0.708;0.963	10

Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты m_i, равные числу периодов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу появлений значений х_j, вычислим их относительные частоты, т.е. оценки вероятностей р ₌ m_i /25 и занесем результаты в таблицу 6.

  Таблица 6

xi	0	5	10	15	
mi	13	5	5	2	25
р	0.52	0.20	0.20	0.08	1.00

  Сравнив полученные результаты с теоретическими (см. пример 1), видим, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины.

 

Выполнение задания 3 .

  Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F*(х) заданному закону распределения F(x), используя критерий Пирсона.

  Для этого определяется случайная величина

где k – число значений случайной величины;

  m_i — число появлений значений случайной величины ;

  p_i — теоретическая вероятность значения;

  n — объем моделируемой выборки ( np_i— ожидаемое число появлений значения х_i при n реализациях случайной величины). Величина ², называемая “хи-квадрат”, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения.

  В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как r=k—l—1, где k – число значений случайной величины, l – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений.

Введем понятие «критическое значение» C= следующим образом:

если при проверяемой гипотезе вероятность события {²>C} Р(²С)= мала, то С — называется «критическим значением», а  — «уровнем значимости» критерия ². Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают =0.01 или =0.05, т.е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в таблице Приложения 2.

 

Пример 3.

  С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения нашего примера (Пример 2 ) теоретическому(Пример 1) при уровнях значимости ₁=0.01, ₂= 0.05.

 

  В рассматриваемой задаче число k=4, поэтому число степеней свободы r=4-1=3. По таблице 4Приложения 2 найдем критические числа С₁ (для ₁=0.01) и С₂ (для ₂=0.05): ими будут С₁=11.3 и С₂=7.8.

 

  Найдем значение ². Все вычисления выполним в таблице 8 (n=25, np_i вычислим до одного знака после запятой).

Таблица 8

i	хi	mi	npi	mi— npi
1	0	13	15.5	-2.5	0.403
2	5	5	2.2	2.8	3.536
3	10	5	6.4	-1.4	0.306
4	15	2	0.9	1.1	1.344
	—	25	25.0	0.0	5.617=2

 

  При уровне значимости ₂=0.05 событие {²>C₂} не произошло (5.617<7.8); полученное распределение не противоречит предполагаемому.

  При менее жестких требованиях, т.е. при =0.01, событие {²>C₁} тем более не произошло, и в этом случае можно считать, что гипотеза о распределении случайной величины с заданным законом распределения не противоречит смоделированным значениям случайной величины.

Приложение 1

 

 Равномерно распределенные случайные числа

 

10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
37	54	20	48	05	64	69	47	42	96	24	80	52	40	37
08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
80	95	90	91	17	39	29	27	49	45	66	06	57	47	17
20	63	61	04	02	00	82	29	16	65	31	06	01	08	05
15	95	33	47	64	35	08	03	36	06	85	26	97	76	02
88	67	67	43	97	04	43	62	76	59	63	57	33	21	35
96	95	11	68	77	12	17	17	68	33	73	79	64	57	53
34	07	27	68	50	36	69	73	61	70	65	81	33	98	85
45	57	18	24	06	35	30	34	26	14	86	79	90	74	39
02	05	16	56	92	68	66	57	48	18	73	05	38	52	47
05	32	54	70	48	90	55	35	75	48	28	46	82	87	09
03	53	96	47	78	35	80	83	42	82	60	93	52	03	44
11	19	92	91	70	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07
23	40	30	97	32	11	80	50	54	31	39	80	82	77	32
18	62	38	85	79	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83
83	49	12	56	24	86	68	54	02	00	86	50	75	84	01
35	27	38	84	35	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69
22	10	94	05	58	60	97	09	34	33	50	50	07	39	98
50	72	56	82	48	29	40	52	42	01	52	77	56	78	61
13	74	67	00	78	18	47	54	06	10	68	71	17	78	17
36	76	66	73	51	90	36	47	64	93	29	60	91	10	62
91	82	60	89	28	93	78	56	13	68	23	47	83	41	13
65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88

Приложение 2

 Значения квантилей распределения Пирсона

 

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0.001	0.005	0.01	0.025	0.05	0.1
1	10.827	7.879	6.635	5.024	3.841	2.706
2	13.815	10.6	9.21	7.378	5.991	4.605
3	16.266	12.84	11.34	9.348	7.815	6.251
4	18.466	14.86	13.28	11.14	9.488	7.779
5	20.515	16.75	15.09	12.83	11.07	9.236
6	22.457	18.55	16.81	14.45	12.59	10.64
7	24.321	20.28	18.48	16.01	14.07	12.02
8	26.124	21.95	20.09	17.53	15.51	13.36
9	27.877	23.59	21.67	19.02	16.92	14.68
10	29.588	25.19	23.21	20.48	18.31	15.99
11	31.264	26.76	24.73	21.92	19.68	17.28
12	32.909	28.3	26.22	23.34	21.03	18.55
13	34.527	29.82	27.69	24.74	22.36	19.81
14	36.124	31.32	29.14	26.12	23.68	21.06
15	37.698	32.8	30.58	27.49	25	22.31
16	39.252	34.27	32	28.85	26.3	23.54
17	40.791	35.72	33.41	30.19	27.59	24.77
18	42.312	37.16	34.81	31.53	28.87	25.99
19	43.819	38.58	36.19	32.85	30.14	27.2
20	45.314	40	37.57	34.17	31.41	28.41
21	46.796	41.4	38.93	35.48	32.67	29.62
22	48.268	42.8	40.29	36.78	33.92	30.81
23	49.728	44.18	41.64	38.08	35.17	32.01
24	51.179	45.56	42.98	39.36	36.42	33.2
25	52.619	46.93	44.31	40.65	37.65	34.38
26	54.051	48.29	45.64	41.92	38.89	35.56
27	55.475	49.65	46.96	43.19	40.11	36.74
28	56.892	50.99	48.28	44.46	41.34	37.92
29	58.301	52.34	49.59	45.72	42.56	39.09