Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

Вид лабораторного занятия: лабораторная работа
Критерии выбора заданий: необходимо выполнить все задания
Требования к содержанию и оформлению письменной работы:
1. Работу следует выполнять с помощью ППП MS Excel, оформлять можно в виде DOC-
файла.
2. На титульном листе должны быть написаны фамилия, имя, отчество студента,
индивидуальный шифр, название дисциплины.
3. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.
4. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения и делая (если это требуется) необходимые чертежи.
Тема № 4: «Временные ряды»
Временные ряды
Изучить экономические и социальные явления в их непрерывном развитии: выявить
закономерности, вскрыть те или иные особенности развития явлений можно, в частности,
при помощи построения и анализа временных рядов.
Определение 1. Временной ряд (ВР), динамический ряд или ряд динамики, – это
совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов
времени.
В каждом временном ряду имеются два основных элемента: 1) показатель времени t ;
2) величины, характеризующие размер (уровень) развития изучаемого явления y .
Определение 2. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем
обозначать
y (t 1, 2,3,…, n) t 
, где n – число уровней. Например, начальный уровень
ряда 1 y – величина первого показателя ряда; конечный уровень ряда n y
– это величина
последнего члена ряда.
Считают, что значения уровней временных рядов экономических показателей
складываются из следующих составляющих (компонент): тренда, сезонной, циклической
и случайной:
 длительные, постоянно действующие факторы оказывают на изучаемое явление
определяющее влияние и формируют основную тенденцию ряда, называемую трендом
T(t) ;
 кратковременные, периодические факторы формируют сезонные колебания ряда S(t) ,
период сезонных колебаний не превышает одного года; если период более одного года, то
говорят о наличии циклической составляющей ВР V(t);
 случайная компонента  (t) отражает влияние не поддающихся учету и регистрации
случайных факторов.
Определение 3. модель, в которой временной ряд представлен как сумма
перечисленных компонент, т.е. y(t)  T(t)  S(t) V(t)  (t) , называется аддитивной.
Определение 4. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение
перечисленных компонент, т.е. y(t)  T(t)  S(t) V(t)  (t) , называется
мультипликативной.
Определение 5. Модель, представленная уравнением y(t)  T(t)  S(t) V(t)  (t) ,
называется смешанной.
Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры
сезонных колебаний: если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянная,
используют аддитивную модель. Если амплитуда возрастает или уменьшается, то
используют мультипликативную модель.
Основная задача эконометрического исследования временных рядов (ВР) состоит в
выявлении каждой из перечисленных компонент, чтобы использовать полученную
информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей
взаимосвязи двух или более временных рядов. Важнейшей классической задачей при
исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая
оценка основной T(t) тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.
Основные этапы анализа временных рядов:
 графическое представление фактических данных и описание поведения временных
рядов;
 выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда;
 сглаживание и фильтрация: удаление низко- и высокочастотных составляющих ВР;
 исследование случайной )  (t составляющей ВР, построение и проверка адекватности
математической модели для ее описания;
 прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного
ряда (ВР);
 исследование взаимосвязи между различными временными рядами.
Среди наиболее распространенных методов анализа ВР выделяют корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.
При наличии во ВР тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.
Определение 6. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями ВР называют автокорреляцией уровней. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного ВР и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Определение 7. Число периодов, по которым рассчитываются коэффициенты автокорреляции, называют лагом.
Причины наличия лагов:
1) Психологические причины, которые обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свои доходы постепенно, а не мгновенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после паления их реального дохода.
2) Технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени.
3) Институциональные причины. Например, контракты между фирмами, трудовые договора требуют постоянства в течение всего времени контракта.
4) Механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом; денежный мультипликатор (создание денег в банковской системе) также проявляет себя на определенном интервале.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности
коэффициента автокорреляции используется правило: максимальный лаг должен быть не
больше 4
n
. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка  ,
исследуемый ряд содержит циклические колебания с периодичностью в  моментов
времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно
сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда:
— ряд не содержит тенденции и циклических колебаний;
— ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для проявления которой нужно
провести дополнительный анализ.
Определение 8. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней
первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного
ряда.
Определение 9. График зависимости ее значений от величины лага (порядка
коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Коэффициенты автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию
целесообразно использовать для выявления во временном лаге наличия или отсутствия
трендовой компоненты T(t) и циклической компоненты S(t) .
Моделирование тенденции временного ряда
Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции ВР
является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней
ряда от времени или тренда. Этот способ называется аналитическим выравниванием ВР.
Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для ее
формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов
чаще всего применяются следующие функции:
– линейный тренд
y a bt t ˆ  
;
– гипербола t
b
y a t ˆ  
;
– экспонента
a bt
t y e  ˆ 
– показательная функция
t
t yˆ  a  b
;
– тренд в форме степенной функции
b
t yˆ  a  t
;
– полином второго порядка
2
1 2 yˆ a b t b t t   
.
Параметры, каждого из перечисленных выше трендов можно определить МНК,
используя в качестве независимой переменной время t  1,2,3,…,n , а в качестве зависимой
переменной – фактические уровни ВР t y
. Для нелинейных трендов предварительно
проводят стандартную процедуру их линеаризации. Существует различные способы
определения типа тенденции:
– качественный анализ изучаемого процесса, который предполагает изучение
проблем возможного наличия в исследуемом ВР поворотных точек и изменения темпов
прироста, или ускорение темпов прироста, начиная с определенного момента времени под
влиянием факторов, и т.д.;
– построение и визуальный анализ графика зависимостей уровней ряда от времени;
– расчет некоторых показателей динамики.
В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда:
– если ВР имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни t y
и t1 y
тесно
коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней
исходного ряда должен быть высоким.
– выбор наилучшего уравнения в случае нелинейной тенденции осуществляется
путем перебора основных форм тренда, рассчитывая по каждому уравнению
скорректированный коэффициент детерминации
2 R . Выбирается уравнение тренда с
максимальным значением
2 R .
a. Для выбора уравнения тренда возможно использование метода конечных
разностей: так если постоянными по величине являются первые разности ( i i i1   y  y
), а
нулевыми вторые разности ( 1     i i i ), то тенденция выражается линейным
уравнением
y a bt t ˆ  
; а если примерно одну и ту же величину имеют разности второго
порядка, то тенденция выражается параболой второго порядка;
b. Существует и ряд других признаков, которые могут помочь при выборе
уравнения тренда: если примерно постоянными оказываются темпы роста, то тенденция
моделируется показательной функцией; если первые разности имеют тенденцию
уменьшаться с постоянным темпом, то следует остановиться на модифицируемой
экспоненте
t
t yˆ  k  a b
; если первые разности обратных значений средних уровней
изменяются на один и тот же процент, то следует остановиться на логистической кривой
(кривой Перла-Рида)
t
t
k a b
y
  
ˆ
1
или
t at be
k
y  

1
ˆ
;
c. Наиболее простой метод выбора кривой роста – визуальный. Подбирают кривую
роста, форма которой соответствует реальному процессу. Если на графике ВР
недостаточно просматривается тенденция развития, то целесообразно провести
сглаживание ряда и затем подобрать кривую, соответствующую новому ряду. При этом
целесообразно использовать современные пакеты компьютерных программ.
d. Прогнозирование ВР целесообразно начинать с построения графика
исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тенденции
(тренда). Поэтому в этих случаях необходимо выяснить, существует тенденция во ВР или
она отсутствует. Вопрос о наличии или отсутствии тенденции можно решить с помощью
критерия «восходящих и нисходящих» серий, алгоритм которого будет предложен чуть
ниже;
e. Если уравнение тренда выбрано неверно, то при больших значениях t результаты
анализа и прогнозирования динамики ВР с использованием выбранного уравнения тренда
будут недостоверными вследствие ошибки спецификации.
Например, анализ динамики потребления желчегонных препаратов показывает, что
наилучшей формой тренда является парабола второго порядка, в то время как на самом
деле имеет место линейная тенденция. И при 5 * t  t  парабола второго порядка
характеризует возрастающую тенденцию в уровнях t y
ВР, а линейная функция –
убывающую.
Критерий «восходящих и нисходящих» серий
1) Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии линии тренда. Конкурирующая
гипотеза – наличие линии тренда.
2) Для исследуемого ВР определяется последовательность знаков, исходя из
условий:
(+), если
0 1   t t y y
,
(–), если
0 1   t t y y
.
При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается
только одно наблюдение.
3) Подсчитывается число серий v(n) . Под серией понимается последовательность
подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус
считается серией.
4) Определяется протяженность самой длинной серии
( ) max l n

Автокорреляция остатков. Проверка наличия автокорреляции статистических
данных с помощью критерия Дарбина – Уотсона.
1. Суть автокорреляции
При построении регрессионных моделей очень важно соблюдение 4–й предпосылки
МНК – отсутствие автокорреляции остатков, то есть значения остатков i e
распределены
независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между
остатками текущих и предыдущих (или последующих) наблюдений.
Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе
при анализе временных рядов. При использовании пространственных данных наличие
автокорреляции встречается довольно редко. В силу этого в дальнейшем вместо символа i
порядкового номера наблюдения будем использовать символ t , отражающий момент
наблюдения. Объем выборки при этом будем символом T вместо n . В экономических
задачах значительно чаше встречается так называемая положительная корреляция нежели
отрицательная.
Чаще всего положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным
воздействием некоторых не учтенных в модели факторов. Суть автокорреляции поясним
следующим примером. Пусть исследуется спрос на прохладительные напитки от дохода
по ежемесячным данным. Трендовая зависимость, отражающая увеличение спроса с
ростом дохода, может быть представлена линейным уравнением
y b b x 0 1 ˆ  
,
изображенным на рис. 1.

.Причины возникновения автокорреляции
1) Ошибки спецификации. Если не учесть в модели какой-либо важной объясняющей
переменной либо неправильный выбрать форму зависимости, то это может привести к
системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может привести к
автокорреляции. Проиллюстрируем это на следующем примере. Анализируется
зависимость предельных издержек от объема выпуска. Если для ее описания вместо
реальной квадратичной модели
2
0 1 2 yˆ  b b x b x
выбрать линейную модель
y b b x 0 1 ˆ  
,
то совершается ошибка спецификации. Ее можно рассматривать как неправильный выбор
формы модели или как отбрасывание значимой переменной при линеаризации указанной
модели. Последствия данной ошибки выразятся в системном отклонении точек
наблюдения от прямой регрессии (см. рис. 10.3) и существенным преобладании
последовательных отклонений одинакового знака над соседними отклонениями
противоположных знаков. Таким образом, наблюдается типичная картина, характерная
для положительной автокорреляции.
2) Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица и
т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой
активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости,
сокращению инфляции и т.д. Этот рост продолжается до тех пор изменение конъюнктуры
рынка и ряда экономических показателей не приведет к замедлению роста, затем
остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта
трансформация происходит не мгновенно, а обладает инертностью.
3) Эффект паутины. Во многих сферах экономики экономические показатели
реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием. Например,
предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с
запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной
продукции в прошлом году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а
следовательно, цена на нее снизится и т.д. В этой ситуации нельзя предполагать
случайность отклонения друг от друга.
4) Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному
периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может
привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри
рассматриваемого периода, что, в свою очередь, может послужить причиной
автокорреляции.
Последствия автокорреляции
Наличие автокорреляции в остатках приводит к тому, что оценки параметров
перестают быть эффективными, оценки дисперсии становятся смещенными и
заниженными, что влечет за собой увеличение t  статистик и признание статистической
значимости уравнения регрессии, тогда как в действительности оно таковым не является
и, следовательно, модель нельзя использовать для прогноза.
Графический метод обнаружение автокорреляции
Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Одни
из них, показывающий зависимость отклонений t e
от момента t их получения, приведен
на рис. 3. Это так называемые последовательно-временные графики. Естественно
предположить, что на рис. 3а-г имеются определенные связи между отклонениями,
т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 3д, скорее всего,
свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
Тест Дарбина-Уотсона

Ограничения на применение критерия Дарбина–Уотсона:
1) неприменим к моделям с лаговыми переменными;
2) выявляет автокорреляции только первого порядка;
3) дает достоверные результаты только для больших выборок;
4) применяется только для тех моделей, которые содержат свободный член.
На практике если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону
неопределенности, то предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют
нулевую гипотезу. В ряде случаев устранить автокорреляцию можно путем определения
ответственного за нее фактора или факторов и соответствующего расширения уравнения
регрессии. Можно также изменить формулу зависимости между факторами.