Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

Практическая работа

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Цель работы: научиться моделировать сезонные колебания временных рядов.

Общие сведения

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( ), сезонной ( ), случайной ( ) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой ( ), сезонной ( ) случайной ( ) компонент.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений ,  и  для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( ) в аддитивной или () в мультипликативной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней ( ) или ( ) и расчет значений  с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений ( ) или ( ).

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок  для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример.

Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об уровне доходов граждан в у.е. за четыре года, представленным в таблице. Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. объемы доходов в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.

Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условный годовой уровень доходов (гр. 3 табл.).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл.). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.).

Шаг 2.

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл.).

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты  (табл.).

Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты .

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются.

В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

Корректирующий коэффициент:

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу. Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

Шаг 3.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда.

Получим величины  (гр. 4 табл.).

Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4.

Определим компоненту  данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: . Уравнение тренда можно определить с помощью табличного процессора MS Excel. Для этого необходимо построить точечную диаграмму по результатам наблюдений, использовать вкладку Работа с диаграммами – Макет – Анализ — Линия тренда — Дополнительные параметры линии тренда. Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

Шаг 5.

Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем уровне доходов на I и II кварталы 5 года. Прогнозное значение  уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: 

Т.е. в первые два квартала 5 г. следовало ожидать порядка рост доходов до 395 и 422 у.е. соответственно.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Определите сезонные (циклические) колебания для временного ряда показателей внешнего долга России на интервале 2008-2023 гг. Показатели приведены в табл.1 (№-номер зачетной книжки студента).

2. Выполните прогноз на 2024 — 2025 гг.

3. Результаты расчетов предъявите преподавателю при отчете.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Понятие аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда.

2. Алгоритм построения аддитивной модели временного ряда.

3. Моделирование сезонных колебаний.

4. Прогнозирование с учетом сезонных колебаний.