Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

Практическая работа

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ И ВЗВЕШЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель работы: сформировать навыки обнаружения гетероскедастичности с помощью рангового теста Спирмена и использовать взвешенный метод наименьших квадратов для коррекции модели регрессии при наличии гетероскедастичности.

Основные сведения

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие гомоскедастичности — условие постоянства дисперсий возмущений, которое в общем виде может быть записано как:

 (1)

т.е. выполнены условия  Невыполнение этого условия называется гетероскедастичностью (т.е. непостоянством дисперсий отклонений). Модели с постоянными дисперсиями ошибок называются моделями с гомоскедастичностью.

        При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных отклонений может вызвать определенное недоумение в силу того, что при каждом i -ом наблюдении имеется единственное значение ε_i. В выборке мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной y_i и соответственно с определенными возмущениями . Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую — при других. Однако на практике часто есть основания считать, что вероятностные распределения возмущений ε_i.при различных наблюдениях будут различными. Так при анализе зависимости расходов на потребление от уровня доходов можно ожидать, что для более обеспеченных людей вариация расходов выше, чем у малообеспеченных.

На рис. 1 приведен пример линейной зависимости потребления C от дохода . В случае а) дисперсия потребления постоянна и не зависит от уровня дохода, в то время как в случае б) дисперсия потребления увеличивается с ростом дохода. При исследовании зависимости прибыли предприятия от размеров основного фонда также естественно ожидать, что для больших предприятий колебания прибыли будут больше, чем для малых. Исследуя размер оплаты труда разумно считать, что вариация размера оплаты для сотрудников высокого уровня превосходит вариацию сотрудников низких уровней. Рис. 1

В случае гетероскедастичности оценки коэффициентов по-прежнему являются несмещенными, но применение МНК имеет некоторые особенности:

1. Оценки не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра).

2. Дисперсии оценок будут смещенными. Смещенность является следствием того, что оценка дисперсии S^2_ост, используемая при вычислении дисперсии оценок больше не является несмещенной.

3. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t — и F -статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися.

_{Тест ранговой корреляции Спирмена используется для обнаружения гетероскедастичности.}

 — коэффициент ранговой корреляции Спирмена, где x — одна из объясняющих переменных,  — разность между рангом i-го наблюдения x и рангом модуля остатка в i-м наблюдении. — статистика.

Если в модели регрессии имеется более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием каждой из них.

 — статистика

Условие принятия гипотезы . Если данное условие выполняется, то нулевая гипотеза о наличии гетероскедастичности будет принята при уровне значимости .

Тест ранговой корреляции Спирмена

Все наблюдения необходимо упорядочить по мере возрастания значений x. Затем построить регрессионную модель для первых m и последних m наблюдений. Соответственно обозначим через ESS₁ и ESS₂ необъясненную сумму квадратов отклонений в каждой регрессии. Тогда статистика имеет вид.

Если выполняется условие , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отвергается.

_{Взвешенный метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы:}.

Пример

Исходные данные, в которых содержатся цена и спрос на некоторый товар, представлены в табл. 1.

Таблица 1

Необходимо провести тест на гетероскедастичность остатков и использовать при этом взвешенный метод наименьших квадратов.

Электронная таблица Excel

К сожалению, в электронной таблице нет дополнительных инструментов, которые позволяли бы проверять гипотезы и реализовывать взвешенный метод наименьших квадратов. Однако данные тесты можно реализовать вручную. Так, например, для теста ранговой корреляции Спирмена необходимо выполнить следующие действия:

1. Отсортировать данные в таблице по возрастанию значений x, для чего необходимо выбрать пункт меню Данные, Сортировка, а затем выбрать столбец, в котором находятся значения x;

2. Придать каждому наблюдению ранг, для чего необходимо добавить новый столбец, в котором задать числа от 1 до n;

3. Вызвать из пакета анализа надстройку Регрессия, указав в диалоговом окне опцию Остатки. После выполнения данной надстройки появится дополнительная таблица, в которой содержатся номера наблюдений, прогнозы и остатки. Тот столбец таблицы, в котором находятся остатки, необходимо перенести к исходным данным. После выполнения этих действий наша таблица будет содержать четыре столбца: ранг наблюдения, упорядоченные значения регрессора x, значения y и значения остатков;

4. Отсортировать данные по возрастанию модулей остатков и добавить новый столбец рангов остатков, аналогичным образом задав значения от 1 до n;

5. В дополнительном столбце вычислить значения разности между двумя полученными рангами (это и будет значение D_i);

6. На основании формул подсчитать коэффициент ранговой корреляции и статистику;

7. Проверить гипотезу можно посредством функции, которая вычисляет значение двусторонней критической точки распределения Стьюдента.

Если выполнить данные действия для таблицы 1, то получим таблицу 2.

Таблица 2

Следовательно, значение ранговой корреляции Спирмена будет равно:

А значение статистики будет 

Выбрав уровень значимости 5 %, получаем критическую точку . Данное значение получено формулой СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;13).

Условие принятия гипотезы . Данное условие не выполняется, нулевая гипотеза о наличии гетероскедастичности при уровне значимости  отвергается.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Необходимо провести тест на наличие/отсутствие гетероскедастичности. Для этого следует вычислить значение ранговой корреляции Спирмена и значение t-статистики.

Исходные данные приведены ниже в табл.3 (№-последняя цифра номера зачетной книжки студента). Файл с выполненными расчетами предъявить преподавателю при отчете.

Таблица 3

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Понятие гетероскедастичности и гомоскедастичности.

2. Методы определения гетероскедастичности.

3. Суть взвешенного метода наименьших квадратов.