Задание 1. Построение паспорта прочности горной породы по методу кругов Мора

Цель работы: изучить методику построения паспорта прочности горной породы по методу кругов Мора.

Порядок выполнения

По данным варианта (таблица 1) постройте график паспорта прочности горной породы (рис. 1) и по нему определите значения ее сцепления и угла внутреннего трения.

Вариант работы определяется по последней цифре договора на обучение.

Рассчитайте значения угла внутреннего трения () и сцепления породы () по аналитическим формулам:

где σ_сж – предел прочности на одноосное сжатие, МПа;

σ_p – предел прочности на растяжение, МПа.

Представьте паспорт прочности горной породы в виде уравнения:

Оформите отчет.

Пример

Исходные данные:

• предел прочности на одноосное сжатие σ_сж = 120 МПа;
• предел прочности на растяжение σ_p = 40 МПа.

Решение

B декартовой системе координат (рис. 1) от нуля вправо откладываем отрезок равный σ_сж = 120 МПа, а от нуля влево – σ_р= 40 МПа. Устанавливая циркуль в середину этих отрезков строим окружности, которые являются кругами Мора. К этим окружностям проводим касательную линию MМ’. Пересечение данной линии с вертикальной осью  определяет величину сцепления образца горной породы К_сц = 34,6 МПа, а угол наклона к оси σ_n – угол внутреннего трения ρ = 30º.

Находим значение угла внутреннего трения и сцепления по формулам (1) и (2):

Уравнение паспорта прочности для данной породы будет иметь следующий вид:

Таблица 1 – Исходные данные

Номер варианта	Предел прочности породы, МПа		Объемный вес породы, , МН	Средний размер структурного блока,, м	Высота откоса, H, м	Угол откоса, , град
	на сжатие σсж	на растяжение σp
1	70	25	0,035	0,3	200	50
2	100	35	0,04	1,1	250	65
3	150	30	0,02	0,8	300	60
4	120	25	0,03	0,6	250	50
5	140	38	0,03	0,4	200	45
6	60	20	0,03	0,2	250	45
7	80	30	0,03	0,4	180	50
8	110	20	0,03	0,4	260	60
9	110	35	0,04	1,1	280	65
0	90	25	0,03	0,6	200	50

Задание 2. Расчет касательных и нормальных напряжений на произвольной площадке. Графический и аналитический метод

Цель работы: изучить методику определения касательных и нормальных напряжений графическим и аналитическим методом.

Общие теоретические сведения

Горные породы в естественном состоянии (в массиве) находятся в объемном напряженном состоянии, т.е. в условиях всестороннего сжатия, поэтому сжимающие напряжения δ₁ и δ₃ считаются положительными.

При любом случайном нагружении тела в нем может быть множество плоскостей, в которых возникают совместно действующие нормальные и касательные напряжения, они взаимосвязаны и могут быть определены методом сложения векторов. Таким образом напряженное состояние в любой точке может быть описано суммой двух перпендикулярных векторов.

Условие плоского напряженного состояния можно проиллюстрировать следующей схемой (рис. 2).

Напряжения, направленные перпендикулярно к рассматриваемой площадке S – нормальные (); напряжения действующие касательно к площадке S – касательные ().

Например, при плоском напряженном состоянии (когда ) в плоскости под углом α будут действовать напряжения, определяемые по формулам:

Связь между  и  графически можно представить с помощью кругов Мора (рис. 3). Для этого по оси абсцисс откладывают максимальное значение сжимающих напряжений  и , действующих на образец. На разности отрезков (), как на диаметре, строят круг. Значения касательного и нормального напряжений в любой точке для заданного угла плоскости находят следующим образом: из точки (A) пересечения абсциссы с кругом под заданным углом () проводят линию до пересечения с окружностью (С).

Ордината точки С – касательное напряжение, а абсцисса – нормальное. Каждому частному значению напряженного состояния соответствует свой круг напряжений.

Порядок выполнения работы

Нарисуйте круг Мора, описывающий напряженное состояние в соответствии с исходными данными (таблица 2) и определите графически значение нормального и касательного напряжения для угла  равным 10, 20, 30 и 40 град.

По данным варианта (таблица 2) рассчитайте значения нормального и касательного напряжения по аналитическим формулам (7) и (8) для угла  равным 50, 60, 70 и 80 град.

Постройте график изменения нормальных и касательных напряжений в зависимости от угла  и .

Оформите отчет.

Вариант работы определяется по последней цифре договора на обучение.

Таблица 2 – Исходные данные

Номер варианта	Напряжения, действующие на образец, МПа
1	70	25
2	100	35
3	150	30
4	120	25
5	140	38
6	60	20
7	80	30
8	110	20
9	110	35
0	90	25

Задание 3. Построение паспорта прочности по данным испытания горной породы на срез со сжатием

Цель работы: изучить методику построения паспорта прочности горной породы по результатам испытания на срез со сжатием, определить механические свойства.

Общие теоретические сведения

Данный метод испытаний породных образцов позволяет определить характеристики механических свойств пород, и именно – предел прочности при срезе со сжатием, применительно к решению любых производственных и научно–исследовательских задач.

Для испытаний используются цилиндрические или призматические образцы твердых горных пород (с пределом прочности при одноосном сжатии не менее 5 МПа).

Сущность метода заключается в измерении разрушающей силы, приложенной к образцу, установленному в стальные наклонные матрицы испытательного устройства (рис. 4).

Для проведения испытаний применяют пресс, максимальное усилие которого не менее чем на 20 % должно превышает предельную нагрузку на образец. Устройство испытательное (рис. 4), размещается на опорной плите пресса и содержит сменные разъемные матрицы с вкладышами с разрезными обоймами для установки образца под определенными углами наклона (как правило углы наклона принимаются Θ = 25°, 35°, 45°) и опорное приспособление в виде стальных плит с роликовой постелью. Режущие кромки вкладышей должны быть расположены в одной диаметральной (цилиндрические образцы) или срединной (призматические образцы) плоскости образца.

Для испытаний изготовляют цилиндрические или призматические (с квадратным сечением) образцы. Диаметр (ширина) образца должна быть равна его высоте, и иметь размер 42 ± 2 мм (допускаются размеры от 30 до 75 мм).

Образцы выбуривают или вырезают на камнерезной машине из штуфов и кернов, их торцевые поверхности шлифуют.

При проведении испытаний образец горной породы помещают в матрицу испытательного устройства. Между образцом и обоймами матрицы прокладывают фольгу. Собранную с образцом матрицу вместе с опорным приспособлением устанавливают в центре опорной плиты пресса, располагая оси роликов параллельно срезающим кромкам матрицы. Образец нагружают равномерно со скоростью роста срезающих напряжений 1–5 МПа/с до полного разрушения по плоскости среза. Значение разрушающей силы (Р) фиксируется силоизмерителем пресса в килоньютонах.

Предел прочности при срезе () и нормальное сжимающее напряжение () вычисляют по формулам:

где  – разрушающая сила, кН;

– угол между плоскостью среза и направлением действия разрушающей силы, град;

– площадь плоскости среза образца, см².

По результатам испытаний найдя значения предела прочности при срезе () и нормальное сжимающее напряжение () при различных углах наклона Θ, можно построить паспорт прочности горной породы (рис. 5) и определить сцепление (К_с) и угол внутреннего трения породы ().

Порядок выполнения работы

Известны результаты испытаний породы на срез со сжатием – разрушающая сила (кН) при угле Θ = 25º, 35º и 45º (таблица 3).

Для каждого варианта испытаний найдите предел прочности при срезе () и нормальное сжимающее напряжение () по формулам (9) и (10). Площадь плоскости среза образца принимаем S = 4,2 · 4,2 = 17,64 см².

Построите паспорт прочности и установить графическим методом величины сцепления и угла внутреннего трения горной породы в образце, определить пределы их изменения (рис. 6).

Оформите отчет.

Вариант работы определяется по последней цифре договора на обучение.

Таблица 3 – Исходные данные

Вариант	Разрушающая сила (Р, кН) при соответствующем угле Θ
	Θ = 25º	Θ = 35º	Θ = 45º
1	32	42	60
2	30	43	58
3	28	41	55
4	26	36	51
5	24	34	55
6	34	43	60
7	31	41	58
8	29	38	55
9	27	37	52
0	25	34	55

Пример

Исходные данные: разрушающая сила Р₁= 30 кН при угле Θ = 25º; Р₂ = 40 кН при угле Θ = 35º; Р ₃ = 58 кН при угле Θ = 45º.

Решение

Для каждого варианта испытаний находим предел прочности при срезе () и нормальное сжимающее напряжение ():

• при угле Θ = 25º:
• при угле Θ = 35º:
• при угле Θ = 45º:

Строим паспорт прочности (рис. 6), для этого наносим точки, Р₁, Р₂, Р₃ по результатам вышеприведенных расчетов. Проводим две прямые через точки Р₁ – Р₂ и Р₂ – Р₃, до пересечения с вертикальной осью. По ординате пересечения прямых с осью определяем сцепление: К_с1 =11,45 МПа для отрезка Р₁ – Р₂; К_с2 = 12,75 МПа для отрезка Р₂ – Р₃.

По углу наклона прямых Р₁ – Р₂ и Р₂ – Р₃ к горизонтальной оси определяем соответствующие значения угла внутреннего трения:  = 29° и  = 24°.

Задание 4. Построение паспорта прочности по данным объемно–напряженного испытания горной породы

Цель работы: построить паспорт прочности и установить графическим методом величины сцепления и угла внутреннего трения горной породы в образце по результатам ее испытания в условиях неравномерного объемно–напряженного состояния.

Теоретические сведения

Наиболее точно и полно поведение горных пород при разрушении отражает паспорт прочности, полученный по результатам испытаний пород в условиях неравномерного объемного напряженного состояния. Соответствующие испытания проводят в специальном приборе – стабилометре, который позволяет создавать напряженное состояние, определяемое условием σ₁ > σ₃ (здесь σ₁ и σ₃ – значения главных напряжений). Для этого образец породы помещают в камеру, наполненную маслом. Величину напряжения σ₁ (вдоль продольной оси образца) создают плунжером от усилия, создаваемого прессом. Величину напряжения σ₃ обеспечивают путем поддержания давления в масле. Образец породы обычно имеет цилиндрическую форму диаметром 30–36 мм и высотой 50–70 мм. Пленка резинового клея предохраняет образец от проникновения в него масла.

Испытания образцов породы в стабилометре начинают в условиях одноосного напряженного состояния, для чего давление масла в камере принимают равным нулю (σ₃ = 0), а напряжение σ₁ постепенно увеличивают и доводят образец до разрушения. Следующие образцы испытывают при объемном напряженном состоянии, устанавливая более высокий уровень напряжений σ₃ и увеличивая до разрушения образца осевое напряжение σ₁. Результаты испытаний наносят в координатах  и σ_n на диаграмму в виде предельных кругов Мора (рис. 7).

Порядок выполнения

На горизонтальной оси σ_n (рис. 7) от нуля влево откладывают значение предела прочности на одноосное растяжение σ_p, а вправо – значение предела прочности на сжатие (σ₁ = σ_сж) при σ₃ = 0. На этих отрезках как на диаметрах строят окружности. Затем вправо от нуля откладывают попарно значения σ₁ и σ₃, полученные в ходе описанных испытаний. На отрезке σ₁–σ₃ как на диаметре, строят окружность. К полученным окружностям проводят огибающую кривую (рис. 7), касательная к которой определяет для образца породы величину сцепления К_с, а угол ее наклона к горизонту – угол внутреннего трения .

Оформите отчет.

 

Таблица 4 – Исходные данные

Номер варианта	Предел прочности породы, МПа		Напряжение σ2=σ3, МПа	Напряжение σ1, МПа
	на сжатие σсж	на растяжение σp
1	70	25	15	110
2	100	35	25	150
3	80	30	15	115
4	75	25	15	110
5	60	14	20	100
6	60	28	20	95
7	80	30	15	110
8	70	20	24	130
9	110	35	15	140
0	90	25	15	130

Задание 5. Построение круглоцилиндрической поверхности скольжения

Цель работы: по данным варианта (таблица 1) и определенным в задании 1 значениям сцепления () и угла внутреннего трения () построить потенциальную поверхность скольжения (разрушения) в откосе.

Порядок выполнения

1. В масштабе (1:500, 1:1000, 1:2000) постройте поперечный разрез откоса (рис. 8).
2. Рассчитайте величину сцепления в массиве борта по формуле:

,     (11)

где  – коэффициент структурного ослабления (таблица 5);

– средний размер структурного блока (таблица 1);

H – высота откоса (таблица 1);

3. Определите расчетные значения сцепления () и угла внутреннего трения () с учетом коэффициента запасов прочности (устойчивости) равного = 1,5:

,     (12)

.     (13)

Таблица 5 – Значение коэффициента структурного ослабления

Сцепление породы в образце, МПа	Коэффициент структурного ослабления
< 0,4	0,5
0,4 ≤  < 2,0	2,0
2,0 ≤  < 8,0	2,5
8,0 ≤  < 15	3,0
15 ≤  < 17	4,5
17 ≤  < 20	5,0
20 ≤  < 30	6,5
≥ 30	7,0

4. Рассчитайте глубину потенциальной трещины отрыва по формуле:

м      (14)

где  – объемный вес породы, МН/м³ (таблица 1).

 

5. Определите значение углов:

(15)

(16)

где  – угол откоса, град (таблица 1).

6. На разрезе откоса нерабочего борта карьера постройте с учетом параметров Н₉₀, ε, β потенциальную поверхность скольжения.

Решение

 

 

 

 

 

 

Построение поверхности скольжения

От верхней бровки откоса из точки А в точку А’ проводим вертикаль длиной  (рис. 8). Из точки А’ под углом  к вертикали проводим прямую линию . Из точки N нижней бровки откоса под углом  к горизонту проводим линию NC до пересечения ее в точке С с линией А’С.

Из точки С до верхней площадки проводим вертикальную линию СС’ (рис. 8). Относительно линии СС’ строим трапецию , симметричную трапеции .

Через точку N нижней бровки под углом  к линии откоса проводим линию ММ’. В точку N к линии ММ’ и в точку С к линии СВ’ восстанавливаем перпендикуляры до их пересечения в точке О, которая является центром круглоцилиндрической поверхности скольжения. С помощью циркуля дугой (радиусом ) соединяем точки С и N. Искомая поверхность скольжения соединяет точки В, В’, С и N (рис. 8).

Задание 6. Определение коэффициента запаса устойчивости

Цель работы: Рассчитайте коэффициент запаса устойчивости (прочности) откоса по критерию прочности Кулона–Мора с помощью следующей методики.

1. На поверхности скольжения отметьте несколько точек (рис. 9).
2. В этих точках определите касательные и нормальные напряжения по формулам:

(17)

     (18)

где – расстояние по вертикали от поверхности уступа до i–oй точки на поверхности скольжения;

– угол наклона к горизонту касательной к поверхности скольжения в i–oй точке, град.

 

3. Используя уравнение паспорта прочности (задание 1, формула (6)) для вычисленных нормальных напряжений определите в отмеченных точках сопротивление пород сдвигу :

(19)

4. Рассчитайте сопротивление пород сдвигу в отмеченных точках c учетом масштабного фактора по формуле:

(20)

5. Поверхность скольжения с расчетными точками разверните на горизонтальную линию, из каждой отмеченной точки по оси ординат отложите отрезки, соответствующие касательным сдвигающим напряжениям и удерживающим напряжениям , концы которых соедините плавной линией (рис. 10).

Рассчитайте площади, ограниченные осью абсцисс и кривыми  и .

Площадь эпюры  характеризует сумму сдвигающих, а эпюры  – сумму удерживающих сил, действующих по поверхности скольжения.

Определите значение коэффициента запаса устойчивости отношением площадей этих эпюр:

(21)

где  – площадь эпюры удерживающих сил;

– площадь эпюры сдвигающих сил.

Если  < 1, то прочность пород не обеспечивает устойчивость откоса с заданными параметрами, если  > 1, то свойства пород обеспечивают необходимый запас устойчивости.

Решение

1. Отмечаем на поверхности точки В’, С, 1, 2, 3, 4, N (рис. 9).
2. Устанавливаем для отмеченных точек расстояния от поверхности откосов h_i и значение углов наклона касательных к поверхности скольжения φ_i.
3. Результаты расчетов сводим в таблицу 5.

Таблица 5 – Результаты расчетов

Наименование точки	м	град	МПа	МПа	МПа	МПа
B’	45,0	90,0	0,0	34,6	0,81	0,00
C	80,4	55,5	0,9	35,2	0,81	1,31
1	112,0	49,1	1,7	35,6	0,83	1,94
2	94,0	43,1	1,8	35,7	0,83	1,64
3	70,7	97,5	1,6	35,5	0,83	1,20
4	36,8	31,2	0,9	35,2	0,82	0,57
N	0,0	25,5	0,0	34,6	0,81	0,00

Графики  и  показаны на рисунке 10. С их помощью (по площади эпюр  и ) определены значения сдвигающих и удерживающих сил  = 105 МН,  = 42,9 МН.

Коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, при заданных параметрах борта карьера свойства пород не обеспечивают его длительную устойчивость.

Рис. 10. Эпюры касательных напряжений

Оформите отчет.