Цель работы – познакомиться с методами решения системы линейных уравнений с помощью системы MathCAD. Изучить методику расчёта простейших цепей переменного тока.

2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
2.1.1. Метод контурных токов

Рассмотрим расчёт электротехнических цепей с помощью системы MathCAD. Пусть требуется найти токи, протекающие в ветвях электрической цепи, принципиальная схема которой изображена на рис. 2.1.

Электрическая цепь содержит:
источник переменного синусоидального напряжения ~U;
резисторы (R1, R2, R3);
конденсаторы (C1, C2, C3);
катушки индуктивности (L1, L2, L3).
Электрическая цепь состоит из нескольких ветвей. Требуется определить амплитудное значение токов в каждой ветви и сдвиги по фазе токов в каждой ветви по отношению к напряжению ~U.
В курсе «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) изучаются различные методы расчёта электрических цепей. В данной лабораторной работе будем использовать метод контурных токов.
Всю цепь разобьём на несколько замкнутых контуров. Контуров должно быть как можно меньше, но в совокупности они должны включать все ветви цепи. Задача разбиения цепи на контуры может быть решена несколькими способами. Например, на рис. 8.1 показаны два контура. Один контур содержит следующие компоненты: ~U, L1, R1, C1, L2, R2, C2. Контурный ток, протекающий по этому контуру, обозначим символом I0.
Другой контур содержит следующие компоненты: L3, R3, C3, L2, R2, C2. Контурный ток, протекающий по этому контуру, обозначим символом I1.
Основной параметр резистора – его сопротивление. Единица измерения сопротивления – Ом. Основной параметр конденсатора – его ёмкость. Единица измерения ёмкости – Ф (Фарада). Основной параметр катушки индуктивности – её индуктивность. Единица измерения индуктивности – Гн (Генри).
Положительное направление контурных токов соответствует протеканию контурного тока по часовой стрелке.
Любой синусоидальный сигнал характеризуется тремя параметрами: амплитудой, частотой и фазой (сдвигом по фазе). Сдвиг по фазе рассматривается по отношению к источнику синусоидального напряжения.
Если в цепи, содержащей источник синусоидального напряжения, имеются только резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, то токи во всех ветвях будут также синусоидальными и иметь частоту, соответствующую частоте источника напряжения.
При расчёте цепей, содержащих источники синусоидального напряжения, используют метод комплексных амплитуд. Любой синусоидальный сигнал представляется в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде синусоиды, а аргумент комплексного числа равен фазе синусоиды.
Используя комплексные амплитуды, можно легко рассчитать токи в цепях переменного тока. Для этого надо использовать комплексные сопротивления Z. Комплексное сопротивление зависит от угловой частоты ω.
Комплексное сопротивление резистора Zr равно Zr(ω)=R.
Комплексное сопротивление конденсатора Zc равно
Zc(ω)=1/(i∙ω∙C),
где I – мнимая единица i=√(-1.)
Комплексное сопротивление катушки индуктивности Zl равно
Zl(ω)=i∙ω∙L.
Обозначим сопротивление каждой ветви на рис. 8.1 символами Z1(ω), Z2(ω), Z3(ω).
При последовательном соединении компонентов цепи общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных компонентов
Z1(ω)=R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C).
Запишем уравнения Кирхгофа для каждого контура. В результате получим систему уравнений, характеризующих всю цепь. Из этой системы найдём виртуальные контурные токи (в виде комплексных амплитуд). Зная контурные токи, определим реальные токи, протекающие в каждой ветви.
{█(U=I_0∙(R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C1))+(I_0-I_1)∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))@0=(-I_0+I_1 )∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))+I_1∙(R3+i·ω·L3+1/(i∙ω∙C3)) )┤.

Целью работы является решение линейных систем уравнений с помощью системы MathCAD. Неизвестными величинами являются I0 и I1. В системе MathCAD имеются несколько способов решения подобных систем уравнений. Для некоторых из них надо представить систему в нормальной форме, то есть в каждом уравнении каждая неизвестная величина должна присутствовать только один раз. Для этого надо раскрыть скобки и привести подобные члены. Желательно поменять местами левые и правые части уравнений.
В результате получим следующую систему линейных уравнений

{█(I_0∙(R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C1)+R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))+I_1∙(-R2-i·ω·L2-1/(i∙ω∙C2))=U@I_0∙(-R2-i·ω·L2-1/(i∙ω∙C2))+I_1∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2)+R3+i·ω·L3+1/(i∙ω∙C3))=0)┤.

Часто линейные системы представляют в матричном виде.
Определим матрицу коэффициентов линейной системы уравнений

M=((M_0,0 M_0,1)¦(M_1,0 M_1,1 )),
〖 M〗_0,0=R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C1)+R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2),
M_0,1=-R2-i·ω·L2-1/(i∙ω∙C2) ,
M_1,0=-R2-i·ω·L2-1/(i∙ω∙C2) ,
M_1,1=R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2)+R3+i·ω·L3+1/(i∙ω∙C3) .

Определим вектор свободных членов
B≔(U¦0 ).
Определим вектор неизвестных величин
I≔(█(I_0@I_1 )).
Тогда линейную систему уравнений можно будет записать в матричной форме M∙I=B.

2.1.2. Матричный метод решения системы линейных уравнений
в системе MathCAD

Пусть дано матричное уравнение M∙I=B,
где M – матрица коэффициентов системы линейных уравнений;
B – вектор свободных членов системы линейных уравнений;
I – вектор неизвестных величин.
В матричном исчислении в общем случае не справедлив коммутативный закон, т.е. при перемене мест сомножителей произведение может измениться.
Для понимания дальнейших действий потребуется знать несколько формул из области матричной алгебры.
1. Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой равны нулю кроме элементов, расположенных на главной диагонали. Эти элементы равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е.
Приведём пример единичной матрицы, содержащей три строки и три столбца (матрица размером 3×3):
E≔(█(1@0@0) █(0@1@0) █(0@0@1) ).
2. Для произвольного вектора X и соответствующей единичной
матрицы справедливо следующее равенство E∙X=X∙E=X.
3. Если матрица M не вырожденная (т.е. её определитель не равен 0), то для неё существует обратная матрица M^(-1). Для матрицы М и обратной ей матрицы M^(-1) справедливо следующее равенство

M^(-1)∙M=M∙M^(-1)=E .
Вернёмся к исходному матричному уравнению M∙I=B и решим его, пользуясь приведёнными выше формулами.
Для этого умножим левую и правую части уравнения на M^(-1)
в результате получим равенство M^(-1)∙M∙I=M^(-1)∙B.
Отсюда следует (учитывая свойство В) E∙I=M^(-1)∙B.
Учитывая свойство Б, окончательно получим, что I=M^(-1)∙B.
Предположим, что надо решить систему линейных уравнений

{█(5∙x_0+4∙x_1=7@6∙x_0+2∙x_1=3)┤.

Приведём сценарий в системе MathCAD решения системы линейных уравнений с помощью матричных вычислений.
Зададим матрицу коэффициентов системы уравнений

M≔(█(5@6) █(4@2)).
Зададим вектор свободных членов системы уравнений
B≔(█(7@3) ).
Найдём вектор неизвестных величин
X≔M^(-1)∙B=(█(-0.143@1.929) ).

2.1.3. Решение системы линейных уравнений
с помощью функции lsolve

Функция lsolve имеет два аргумента. Первый аргумент – это матрица коэффициентов системы уравнений. Второй аргумент – это вектор свободных членов системы уравнений.
Предположим, что надо решить систему линейных уравнений

{█(5∙x_0+4∙x_1=7@6∙x_0+2∙x_1=3)┤.

Приведём сценарий в системе MathCAD решения системы линейных уравнений с помощью функции lsolve.
Зададим матрицу коэффициентов системы уравнений

M≔(█(5@6) █(4@2)).
Зададим вектор свободных членов системы уравнений
B≔(█(7@3) ).
Найдём вектор неизвестных величин
X≔lsolve(M,B)=(█(-0.143@1.929) ).

2.1.4. Решение с помощью вычислительного блока Given/Find

Вычислительный блок Given/Find использует численные методы решения систем уравнений. Поэтому требуется задать начальное предполагаемое значение неизвестных величин.
Предположим, что надо решить систему линейных уравнений

{█(5∙x_0+4∙x_1=7@6∙x_0+2∙x_1=3)┤.
Приведём сценарий в системе MathCAD решения системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given/Find.
Зададим предполагаемое значение вектора неизвестных величин
x≔(█(0@0)).
В разделе Given запишем систему линейных уравнений. Знаки равенства в разделе Given берутся из панели Boolean, а не с клавиатуры и не из панели Calculator:
Given
█(5∙x_0+4∙x_1=7@6∙x_0+2∙x_1=3).
Найдём вектор неизвестных величин с помощью функции Find:

x≔Find(x)=(█(-0.143@1.929) ).
Аргументом функции Find является искомая величина.
Значение функции Find может быть присвоено переменной, имя которой не совпадает с именем неизвестной величины, например:

Z≔Find(x)=(█(-0.143@1.929) ).
2.1.5. Определение модуля и аргумента комплексного числа

Решениями системы уравнений, описывающих электрическую цепь переменного тока, являются комплексные числа Z (рис. 8.2).

 

 

 

 

Рис. 8.2. Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число соответствует точке Z на комплексной плоскости. Комплексное число можно представить в координатной форме как Z=X+i∙Y. Или в показательной форме как Z=A∙ei∙φ.
Вещественная часть X комплексного числа Z обозначается как X = Re(Z) (Re – это начало слова Real). Мнимая часть Y комплексного числа Z обозначается как Y = Im(Z). (Im – это начало слова Imaginary).

А – модуль комплексного числа, φ – аргумент комплексного числа.
По теореме Пифагора
A≔√(〖((Re(Z))〗^2+(Im(Z))^2 )).
Эта величина соответствует амплитуде реальной физической переменной, например, соответствует амплитуде тока.
Модуль комплексного числа можно найти проще. Для этого можно воспользоваться функцией определения абсолютной величины (Absolute Value) из панели Calculator, например, A=|Z|.
Аргумент комплексного числа Z определяется по следующей формуле
φ:=arctg(Im(Z)/Re(Z) ).
Эта величина соответствует сдвигу по фазе реальной физической переменной по отношению к базовой переменной, например, сдвигу тока по отношению к напряжению.
Для нахождения аргумента комплексного числа Z в системе MathCAD можно воспользоваться функцией arg.
φ:=arg(Z).

2.1.6. Определение токов в ветвях электрической цепи
переменного тока

Рассмотрим электрическую цепь, представленную в начале теоретической части данной лабораторной работы. Был показан вывод системы линейных уравнений, описывающих данную цепь.
{█(U=I_0∙(R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C1))+(I_0-I_1)∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))@0=(-I_0+I_1 )∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))+I_1∙(R3+i·ω·L3+1/(i∙ω∙C3)) )┤.
Контурные токи I0 и I1 можно объединить в один вектор неизвестных контурных токов:
I≔(█(I_0@I_1 )).
В системе MathCAD создадим сценарий решения системы линейных уравнений, описывающих электрическую цепь.
Зададим параметры электрической цепи.
Сопротивление резисторов (единица измерения – Ом):
R1:=1, R2:=2, R3:=3.
Индуктивность катушек индуктивности (единица измерения – Гн, Генри): L1:=0.01, L2:=0.02, L3:=0.03.
Ёмкость конденсаторов (единица измерения – Ф, Фарада): C1:=0.001, C2:=0.002, C3:=0.003.
Действующее значение синусоидального напряжения (единица измерения – В, Вольт) U = 220.
Частота переменного тока (единица измерения – Гц, Герц ) f:=50.
Угловая частота тока (единица измерения – рад/c., радиан/секунда) ω:=2∙π∙f.
Для решения системы будем использовать вычислительный блок Given/Find.
Зададим вектор предполагаемого значения неизвестных контурных токов. Так как ищем комплексные решения, надо задать комплексные значения предполагаемых контурных токов
I≔(█(i@i)).
Это означает, что I0 = i и I1 = i.
I – мнимая единица.
Создадим раздел Given. И в нём запишем систему уравнений

Given
█(U=I_0∙(R1+i·ω·L1+1/(i∙ω∙C1))+(I_0-I_1)∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))@0=(-I_0+I_1 )∙(R2+i·ω·L2+1/(i∙ω∙C2))+I_1∙(R3+i·ω·L3+1/(i∙ω∙C3)).)
Напомним, что в разделе Given знаки равенства берутся из панели Boolean.
С помощью функции Find найдём вектор неизвестных величин

I≔Find(I)=((35.511-47.734∙i)¦(12.298-17.884∙i)).

Зная контурные токи, найдём комплексные токи, текущие в ветвях электрической цепи:
I1≔I_0=35.511-47.734∙i,
I2≔I_0-I_1=23.213-29.85∙i,
I3≔I_1=12.298-17.884∙i.
Найдём амплитудные значения токов:
modI1≔√(((Re(I1))^2+〖(Im(I1))〗^2))=59.494,
modI2≔√(((Re(I2))^2+〖(Im(I2))〗^2))=37.813,
modI3≔√(((Re(I3))^2+〖(Im(I3))〗^2))=21.704.

Найдём сдвиги по фазе (в электрических градусах) между токами I1, I2, I3 и напряжением U:
φ1≔((180∙arg⁡(I1) ))/π=-53.353,

φ2≔((180∙arg⁡(I2) ))/π=-52.129,

φ3≔((180∙arg⁡(I3) ))/π=-55.485.
Сдвиг по фазе (аргумент комплексного числа), измеряемый в электрических радианах, определяется с помощью функции arg.
В итоге получим следующие формулы для реальных синусоидальных токов, протекающих по ветвям электрической цепи:

I1(t)≔|I1|∙sin⁡(2∙π∙f∙t+arg⁡(I1) ),
I2(t)≔|I2|∙sin⁡(2∙π∙f∙t+arg⁡(I2) ),
I3(t)≔|I3|∙sin⁡(2∙π∙f∙t+arg⁡(I3) ).

2.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Создать сценарий в системе MathCAD для нахождения токов в электрической цепи(рис.2.1). Использовать метод решения системы линейных уравнений с помощью блока Given/Find.
2. Создать сценарий в системе MathCAD для нахождения токов в электрической цепи(рис.2.1). Использовать метод решения системы линейных уравнений с помощью матричных вычислений.
3. Создать сценарий в системе MathCAD для нахождения токов в электрической цепи(рис.2.1). Использовать метод решения системы линейных уравнений с помощью функции lsolve.
4. Найти методом контурных токов действующие значения токов I1, I2, I3, I4, I5 в ветвях электрической цепи (рис. 2.3) и сдвиги по фазе токов по отношению к напряжению ~U.
U:= 220 В – действующее значение переменного синусоидального напряжения.
f:=50 Гц – частота переменного синусоидального напряжения.
Варианты параметров цепи представлены в нижеследующей таблице (табл. 2.1).
Контурные токи I0, I1, I2 показаны на рис. 2.3 полукруглыми штриховыми линиями.

Рис. 2.3. Принципиальная схема электрической цепи
5. Найти методом контурных токов (для иных контуров) действующие значения токов I1, I2, I3, I4, I5 в ветвях электрической цепи (см. рис. 2.3) и сдвиги по фазе токов по отношению к напряжению ~U.
U:=220 В – действующее значение переменного синусоидального напряжения.
f:=50 Гц – частота переменного синусоидального напряжения.
Варианты параметров цепи представлены в нижеследующей таблице (см. табл. 2.1).
Контурные токи I0, I1, I2 показаны на рис. 8.4 полукруглыми штриховыми линиями.
Сравнить результаты расчётов токов в ветвях цепи по пп. 4 и по пп. 5.

№	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	L1, мГн	L2, мГн	L3, мГн	L4, мГн	С1, мФ	С2, мФ	С3, мФ	С4, мФ
1	1	10	15	20	30	10	20	40	2	3	1	0.5
2	2	12	13	25	28	11	25	38	1.5	2.5	1.2	0.7
3	3	14	10	30	26	12	30	36	0.5	2	1.4	0.9
4	4	16	8	20	24	13	20	34	2	1.5	1.6	0.7
5	5	18	15	25	22	10	25	32	1.5	3	0.8	0.5
6	1	20	13	30	20	11	30	30	0.5	2.5	0.6	0.6
7	2	22	10	20	30	12	20	28	2	2	0.4	0.5
8	3	10	8	25	28	13	25	26	1.5	1.5	1	0.7
9	4	12	15	30	26	10	30	40	0.5	3	1.2	0.9
10	5	14	13	20	24	11	20	38	2	2.5	1.4	0.7
11	1	16	10	25	22	12	25	36	1.5	2	1.6	0.5
12	2	18	8	30	20	13	30	34	0.5	1.5	0.8	0.6
13	3	20	15	20	30	10	20	32	2	3	0.6	0.5
14	4	22	13	25	28	11	25	30	1.5	2.5	0.4	0.7
15	5	10	10	30	26	12	30	28	0.5	2	1	0.9
16	1	12	8	20	24	13	20	26	2	1.5	1.2	0.7
17	2	14	15	25	22	10	25	40	1.5	3	1.4	0.5
18	3	16	13	30	20	11	30	38	0.5	2.5	1.6	0.6
19	4	18	10	20	30	12	20	36	2	2	0.8	0.5
20	5	20	8	25	28	13	25	34	1.5	1.5	0.6	0.7
21	1	22	15	30	26	10	30	32	0.5	3	0.4	0.9
22	2	10	17	15	24	11	20	30	2	2.5	1	0.7

2.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

По результатам лабораторной работы каждый обучающийся готовит индивидуальный отчет в электронной форме, с помощью редактора для обработки текста Microsoft Office Word. Отчет должен содержать:
• номер и название лабораторной работы;
• цель лабораторной работы;
• порядок выполнения лабораторной работы;
• сценарии решения задач в системе MathCAD с подробными комментариями;
• результаты (численные значения, таблицы, графики) реализации сценариев в системе MathCAD;
• ответы на контрольные вопросы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определить решение системы линейных уравнений с помощью матричных вычислений?
2. Как определить решение системы линейных уравнений с помощью функции lsolve?
3. Как определить решение системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given/Find?
4. Как определить сдвиг по фазе, измеренный в электрических радианах, если известен сдвиг по фазе, измеренный в электрических градусах?
5. Как определить сдвиг по фазе, измеренный в электрических градусах, если известен сдвиг по фазе, измеренный в электрических радианах?
6. Как определить амплитуду тока, если известно комплексное значение тока?
7. Какое начальное значение вектора неизвестных величин надо задать при решении системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given/Find, если требуется найти комплексное решение системы?