Задание 1. Письменно дайте ответ на один из вопросов (номер вопроса выбирается по желанию).

 

1. Концепция непрерывного образования.

Характерной чертой новой системы образования, вырисовывающейся в результате преобразований, является множественность путей и средств решения проблем обучения и социокультурного развития людей разных возрастов. Образовательные учреждения отказываются от единого социального заказа и все более начинают учитывать дифференцированные запросы различных категорий обучающихся, какими бы причинами эти разные запросы ни определялись (социальной характеристикой, материальными возможностями, возрастом, уровнем подготовленности и т.п.). Возможность выбора для субъектов обучения признается ведущей теоретической идеей и реально существующим явлением.

Идея непрерывного образования возникла как ответ на динамичные изменения в науке и производстве. В большинстве стран ее связывали прежде всего с обучением, однако уже первые обобщения и концептуальное осмысление данной идеи выдвинули как равноправную мысль о необходимости развития личности в процессе непрерывного образования. По мере утверждения субъектности человека в его социализации и профессионализации, по мере возрастания индивидуальности в выборе средств самореализации усиливалась и целеопределяющая роль личности в построении жизненной образовательной стратегии.

На основе анализа социальной роли непрерывного образования в жизни человека отечественные исследователи определяют образование как фактор социального развития, как условие производственной деятельности, условие обогащения духовной жизни человека, развития самосознания и умственного развития, а также как фактор, способствующий общению через развитие речи, расширение круга общения.

Развитие системы непрерывного образования – одно из важных направлений инновационной образовательной деятельности, предполагающее непрерывность процессов в системах общего среднего, начального, среднего, высшего, послевузовского и дополнительного профессионального образования. Эффективность и возможность образовательной деятельности определяются прямыми и обратными системными связями между различными стадиями инновационного цикла, производителями и потребителями услуг; фирмами, рынком, государством и другими социальными партнерами, включая зарубежных. Непрерывное образование может рассматриваться как формальная часть структуры так называемого «обучения в течение всей жизни» и является одним из важных условий инновационной образовательной деятельности.

Развитие системы непрерывного образования направлено на  поддержку компетентностного развития личности, на реализацию концепции развивающего обучения. Концепция непрерывного образования основана на принципах непрерывности, гибкости, быстрой динамике, связанной со сменой потребностей на рынке труда, на реализации концепта образования «не на всю жизнь, а через всю жизнь». Современный человек должен не только обладать неким объемом знаний, но и уметь учиться: искать и находить необходимую информацию, чтобы решить те или иные проблемы, использовать разнообразные источники информации для решения этих проблем, постоянно приобретать дополнительные знания.

Непрерывное образование предполагает многоуровневость образовательных программ, которая позволяет учесть в построении образовательной траектории такие существенные характеристики, как встроенность, замещение, дополнение, адаптировать программу к начальному уровню обучающихся.

Инновационность программ непрерывного образования проявляется в опережающем характере обучения, в адекватности потребностям рынка, широком использовании дистанционных образовательных технологий. Содержание и технологии непрерывного образования направлены на подготовку инновационно-ориентированной личности.

В основе программ непрерывного образования должны лежать такие принципы как:

• системность,
• модульная структура программ,
• компетентностный подход,
• оптимизация аудиторных занятий,
• применение современных образовательных и информационных технологий,
• накопительная система обучения.

В проекте доклада «О развитии образования в Российской Федерации», представленного 23 марта 2006 г. Государственным советом Российской Федерации, непрерывность образования определена как основа жизненного успеха личности, благосостояния нации и конкурентоспособности страны. В условиях динамичных изменений современной жизни и стремительного обновления знаний создание гибкой и динамичной системы всеобщего непрерывного образования – императив роста человеческого капитала, инновационного развития и конкурентоспособности любой страны.

Такая система должна обеспечивать три главных условия:

• преемственность образовательных стандартов и программ различных уровней общего и профессионального образования;
• возможность временного прекращения и возобновления обучения, изменения его формы, выбора индивидуальной образовательной траектории, повышения квалификации, переподготовки и т.д. с целью поддержания как высокого уровня общего образования, так и профессиональной конкурентоспособности, соответствия запросам рынка труда;
• отсутствие тупиковых образовательных программ, учебных заведений, направлений и видов образования, не дающих возможности продолжить как общее, так и профессиональное обучение.

Эта система должна иметь государственно-общественный характер, включать в себя аккредитование учреждений и организаций всех форм собственности (государственных, корпоративных, негосударственных), которые занимаются образованием в разных его видах и формах, обеспечивая должный уровень его качества, эффективности и конкурентоспособности.

Создание системы всеобщего непрерывного образования, соответствующего потребностям страны и тенденциям мирового рынка труда, рассматривается сегодня как одна из основных стратегических задач российской системы образования. В условиях формирования информационного общества, динамичного наращивания потребностей в период глубочайших социально-экономических сдвигов и вхождения в постиндустриальную эпоху, только непрерывное образование способно решить проблему отставания профессионального образования от запросов общества.

Среди задач, решение которых необходимо для развития системы непрерывного образования, следует выделить следующие:

• переход к модульному принципу построения образовательных программ, что позволит обеспечить гибкость и вариативность образования, его личностную направленность, большее соответствие запросам рынка;
• широкое использование новых образовательных технологий, в том числе технологий «открытого образования», интерактивных форм обучения, проектных и других методов, стимулирующих активность обучающихся, формирующих навыки анализа информации и самообучения, увеличение роли самостоятельной работы учащихся;
• стимулирование с учетом мирового опыта соучредительства и многоканального финансирования учреждений профессионального образования, развитие механизмов привлечения в профессиональное образование внебюджетных средств, создание условий для инвестиционной привлекательности системы профессионального образования;
• обновление материально-технической базы и инфраструктуры образования, более интенсивная его информатизация;
• разработка и апробация различных моделей регионального управления профессиональным образованием в связи с возрастанием роли регионов в его развитии; нормативно-правовое обеспечение функционирования и развития региональных систем образования;
• обеспечение инновационного характера профессионального образования за счет интеграции сферы образования, науки и производства; разработки проектов, связанных с развитием различных отраслей экономики, фундаментальной и прикладной науки, с обновлением содержания образования и технологий обучения; создания учебно-научно-производственных комплексов, объединений, инновационных парков, бизнес-инкубаторов при каждом успешном вузе с их государственной поддержкой;
• создание современной, мобильной и гибкой системы непрерывного профессионального образования как составной части общей системы непрерывного образования, включающей все уровни профессионального образования – от начального до послевузовского.

 

Задание 2. Выберите и дайте характеристику произвольного учебно-методического комплекса

 

Содержательно-методическая характеристика учебно-методического комплекта «Школа России»

УМК «Школа России» — это система учебников (учебно-методический комплекс) для 1-4 классов общеобразовательных учреждений, обновляющаяся, наиболее востребованная и понятная учителю начальной школы. Авторами данного комплекта являются М. И. Моро, Ю. М. Колягин, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова, С. В. Степанова.

Особенности программы.

Данный начальный курс математики интегрированный: в нем объединены арифметический, алгебраический и геометрический материалы. Основу составляет представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Важное место занимает ознакомление с величинами и их измерением.

Курс построен концентрически, что позволяет соблюсти постепенность в нарастании трудности учебного материала, и создает хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений и навыков.

Ведущие принципы обучения: учёт возрастных особенностей учащихся; органическое сочетание обучения и воспитания; усвоение знаний и развитие познавательных способностей; практическая направленность преподавания; индивидуальный подход к учащимся.

Практическая направленность методики выражена в следующих положениях:

1. Сознательное усвоение детьми различных приемов вычислений обеспечивается за счет использования с их помощью тех операций, которые лежат в основе рассматриваемого приема.
2. Формирование у детей сознательных и прочных устных и письменных вычислений, доведения до автоматизма знания табличных случаев действий.
3. Введение новых алгоритмов, усовершенствование традиционных.
4. Рассмотрение теоретических вопросов курса опирается на жизненный опыт ребенка, практические работы, различные средства наглядности, подведение детей на основе собственных наблюдений к индивидуальным выводам, сразу находящим применение в учебной практике.
5. Система упражнений, направленных на выработку навыков, предусматривает их применение в разнообразных условиях.

Основные содержательные линии: нумерация чисел; арифметический материал; геометрический материал; величины и их измерение; дроби и доли; текстовые задачи.

Важнейшей особенностью этого курса математики является то, что рассматриваемые в нём основные понятия, отношения, взаимосвязи, закономерности раскрываются на системе соответствующих конкретных и чаще всего сюжетных текстовых задач.

При обучении математике важно научить детей самостоятельно находить путь решения предлагаемых программой задач, применять подходы к их решению.

Требования программы к умениям учащихся решать задачу:

1. Дети должны уметь анализировать содержание задачи, объясняя: что известно и что неизвестно в задаче; что можно узнать по данному условию; что нужно знать для ответа на вопрос задачи; какие арифметические действия и в какой последовательности должны быть выполнены для получения ответа на вопрос задачи.
2. Должны обосновывать выбор каждого действия и пояснять полученные результаты.
3. В 1 классе записывать решение задачи только действием, а в дальнейшем составлять по условию задачи выражения.
4. Должны уметь давать устно ответ на вопрос задачи и проверять правильность её решения.

Следует отметить, что учащиеся знакомятся не только с понятием «задача», но и с различными её видами. Процесс изучения данного материала равномерно распределён в течение  всех четырёх лет обучения.

1класс. Понятие «задача». Компоненты задачи: условие, вопрос. Решение задач в одно действие, раскрывающий конкретный смысл действий сложения и вычитания; нахождение числа, которое на несколько единиц больше (меньше) данного.

2 класс. Понятие «обратная задача», «задача с недостающими данными». Простые задачи на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, раскрывающие конкретный смысл умножения и деления. Решение задачи в 2 действия на сложение и вычитание. Рассматриваются различные способы решения задач. Использование моделей и схем на этапе поиска плана решения задачи.

Особенности учебника.

В учебниках математики 1 — 2 классов в рамках ФГОС весь учебный материал построен так рационально, что помогает детям прочно и сознательно овладеть математическими знаниями, умениями и навыками.

Развитие интереса к предмету реализуется через методическую систему, предлагающая доступность курса для каждого ученика. Материал преподносится в занимательной форме. В соответствии с выше сказанным, вводятся следующие условные обозначения (рисунок 1).

В начале каждого раздела указано, что учащиеся узнают и чему научатся. В начале каждой темы дается пояснение тому, чем они будут заниматься на уроке. В конце каждой темы даны задания для закрепления усвоенного материала. Выполнив эти задания, ребята должны оценить свои успехи. В конце тем даются упражнения для закрепления, где в самом начале задается вопрос: «Что узнали. Чему научились». Также в соответствии с ФГОС в учебниках появилась страничка для любознательных, где предлагаются интересные задания для учащихся. В конце каждого раздела есть страничка для самопроверки, где учащиеся должны после выполнения задания оценить свои достижения.

Задание 3. Письменно дайте ответ на вопрос по теме «Написание цифр»

Задание 4. Ответьте письменно на вопросы теста

Тест «Дочисловая подготовка младших школьников»

Ч а с т ь  А

Найдите один неправильный ответ, а в случае его отсутствия укажите: «Неправильного ответа нет».

А 1. Задачами дочислового периода являются:

1) выявление уровня дошкольной математической подготовки;

2) уточнение и расширение  математических представлений детей;

3) развитие познавательных процессов;

4) специальная подготовка к введению понятия «число»;

5) формирование учебной деятельности;

6) неправильного ответа нет.

А 2. Подготовка младших школьников к изучению чисел ведется по следующим направлениям:

1) обучение счету;

2) уточнение представлений о количественном и порядковом значении числа;

3) обучение сравнению двух множеств по количеству элементов;

4) практическое знакомство с операциями объединения и дополнения конечных множеств;

5) формирование умения решать задачи на нахождение суммы, на нахождение остатка;

6) уточнение пространственных представлений.

А 3. С целью развития у детей мыслительных действий в период дочисловой подготовки предлагаются специальные упражнения:

1) выделение признаков сходства и различия предметов, геометрических фигур и др.;

2) счет предметов по указанному общему для них признаку;

3) выделение общего признака у всех рассматриваемых предметов;

4) классификация предметов по цвету, размеру, форме, назначению;

5) игры «Найди лишнее» и «Чего не хватает?»;

6) неправильного ответа нет.

А 4. С целью подготовки детей к написанию цифр предлагается система упражнений:

1) обведение контуров;

2) прописывание некоторых элементов цифр.

3) раскрашивание и штриховка;

4) рисование «бордюров»;

5) составление из геометрических фигур «рисунков» знакомых объектов, например, снеговика, домика и т.п.;

6) обведение в тетради одной или нескольких клеточек по образцу;

А 5. Подготовкой к операции счета являются упражнения видов:

1) заучивание считалок;

2) составление простейших числовых выражений по иллюстрациям;

3) разбиение множества на два взаимно дополняющих подмножества, например, красные и не красные, слева и справа и т.п.;

4) практическое выполнение объединения конечных множеств;

5) выделение общего свойства предметов из данного множества;

6) неправильного ответа нет.

А 6. Для формирования навыка счета необходимо выполнение учащимися достаточного количества разнообразных упражнений, отличительными признаками которых являются:

1) характеристическое свойство множества предметов, которые надо сосчитать;

2) пространственное размещение этих предметов (линейное, по замкнутому контуру, по иным конфигурациям);

3) опора на различные органы чувств (визуально, на слух, на ощупь);

4) опора на представление (без непосредственного восприятия) множества, элементы которого сосчитываются;

5) единицы счета (по одному, парами и т.п.);

6) неправильного ответа нет.

А 7. Формированию умения считать способствуют упражнения следующих видов:

1) сколько учеников в классе;

2) сколько колес у автомобиля;

3) сколько будет 3 плюс 2;

4) сколько хлопков сделал учитель;

5) сколько раз присел Коля;

6) сколько пар тетрадей в стопке.

А 8. При обучении счету учителю необходимо обращать внимание учащихся на строгое соблюдение следующих требований:

1) счет вести слева направо;

2) нельзя пропускать предметы;

3) нельзя один и тот же предмет сосчитывать более одного раза;

4) счет начинать с числа «один»;

5) далее называть все числа по порядку;

6) ответом на вопрос «Сколько?» является последнее названное при счете число.

А 9. При обучении сравнению множеств учащимся предлагается система упражнений постепенно усложняющихся видов:

1) множества располагаются так, чтобы каждый элемент второго множества оказался под одним элементом первого множества;

2) элементы обоих множеств располагаются линейно, но без очевидного разбиения их на пары;

3) элементы обоих множеств располагаются линейно, но вперемешку (например, круги и квадраты кладутся в каждом из двух рядов);

4) элементы одного из множеств раскладываются линейно, а другого по произвольной конфигурации;

5) элементы обоих множеств располагаются в виде неупорядоченных групп;

6) неправильного ответа нет.

А 10. Упражнения на сравнение и на уравнивание двух множеств по количеству составляющих их элементов являются наглядно-действенной основой для осознания детьми:

1) конкретного смысла отношений «равно», «больше», «меньше»;

2) понятий «числовое равенство» и «числовое неравенство»;

3) конкретного смысла отношений «больше на» и «меньше на»;

4) взаимосвязи отношений «больше» и «меньше»;

5) конкретного смысла вопросов «На сколько больше?», «На сколько меньше?» и их взаимосвязи;

6) неправильного ответа нет.

А 11. Упражнения в сравнении двух множеств выполняют следующие дидактические функции:

1) подготовка к введению понятия натурального числа;

2) формирование навыка счета;

3) запоминание некоторых табличных случаев сложения;

4) подготовка к решению арифметических задач с разностными отношениями между числами;

5) обучение простейшим предматематическим доказательствам утверждений вида: «Яблок больше, чем груш, потому что …..»;

6) неправильного ответа нет.

А 12. При планировании организационных форм работы первоклассников на уроке учитель предусматривает:

1) практические упражнения с использованием разнообразного дидактического материала;

2) сочетание фронтальной работы с аналогичной индивидуальной;

3) своевременную смену видов деятельности учащихся;

4) широкое использование игр, игровых ситуаций, занимательных заданий, разнообразных средств наглядности;

5) более свободное поведение детей;

6) неправильного ответа нет.

 

Задание 5. Подготовить упражнения (тренажер), которые Вы бы рекомендовали учителю при изучении чисел (выбрать любой из пунктов):

3. первой сотни

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление. Эти вопросы выделяются в особый концентр по следующим причинам:

• обучающиеся знакомятся с новой счетной единицей — десятком и новым понятием — понятием разряда;
• обучающиеся овладевают приемами устных и письменных вычислений на основе свойства арифметических действий, связи между их компонентами и результатом;
• обучающиеся усваивают таблицы сложения и умножения и соответствующие случаи обратных действий — вычитания и деления;
• вводятся составные задачи и продолжается работа над простыми задачами;
• изучаются математические выражения, продолжается изучение геометрического материала.

В результате изучения нумерации в пределах 100, обучающиеся должны:

• научиться считать предметы десятками и усвоить образование, название двузначных чисел;
• усвоить порядок следования чисел при счете, используя предшествующее и последующее число;
• уметь сравнивать числа, опираясь на их место в натуральной последовательности, а также на десятичный состав чисел; — уметь читать и записывать числа в пределах 100.

Нумерация в концентра «Сотня» изучается в два этапа:  1) устная нумерация;  2) письменная нумерация.

Подготовительной работой к изучению нумерации в пределах 10 является повторение нумерации в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там вместо единиц мы будем употреблять десятки.

Изучение устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у обучающихся понятия о десятке. Предлагается отсчитать десять палочек и завязать их в пучок. Можно сказать «десять», «десяток» — т.е. десять единиц образуют десяток. Отсчитав по 10 палочек, мы получим еще 1 десяток и будет 2 десятка и т.д. Практически выясняем, что эти десятки можно сложить и вычитать как простые единицы.

После ознакомления с понятием «десяток», повторяем основные упражнения по образованию чисел в пределах 10 и то же самое проделываем используя термин «десяток»: считаем 1 десяток, 2 десятка, … и наоборот, выясняем: к 1 десятку прибавим 3 десятка, получим 4 десятка; из 7 десятков вычитаем 2 десятка, получим 5 десятков и т.д. Обучающиеся должны понять, что при изучении нумерации принципы и приемы работы с числами переходят из одного концентра в другой.

При изучении образования чисел от 11 до 20 из десятков и единиц может быть проведена такая практическая работа с дидактическим материалом: отсчитайте 10 палочек, как сказать иначе, сколько у вас палочек? (1 десяток) Завяжите палочки в пучок. Положите 1 палочку на десяток палочек. Сколько стало всего палочек? (Один – на — дцать.) Сколько здесь десятков палочек? Возьмите десяток в левую руку и покажите. Покажите, сколько еще есть отдельных палочек. Значит, сколько десятков и единиц содержится в числе 11? Положите на десяток еще 1 палочку. Сколько палочек лежит на десятке? Сколько всего палочек? Сколько десятков и сколько от дельных палочек? Сколько единиц и сколько десятков в числе «две – на – дцать»? Вместо палочек можно работать с полосками.

Аналогично рассматриваются следующие числа второго десятка, после чего надо обратить внимание детей на то, что в названиях чисел от 11 до 19 первая часть слова обозначает число единиц, а в числе 20 первая часть слова обозначает число десятков.

Для закрепления устной нумерации учитель подбирает такие упражнения:

• Отсчитайте 14 палочек, покажите, сколько десятков и сколько единиц.
• У меня в руках 1 десяток палочек и 8 отдельных палочек. Каким числом вы это назовете?
• Положите 12 палочек, передвигайте по одной палочке и называйте, сколько палочек стало.
• Положите 19 палочек, отодвиньте в сторону по 1 палочке и называйте, сколько палочек стало.

При изучении письменной нумерации учитель использует абак, где в кармашках верхнего ряда ставятся палочки, нижнего ряда – цифры. Кроме этого большую помощь оказывает более раннее ознакомление с нумерационной таблицей и общей схемой разбора числа.

Таблица разрядов и классов

3-й класс – класс миллионов			2-й класс – класс тысяч			1-й класс – класс единиц
Разряды			Разряды			Разряды
Сотни	Десятки	Единицы	Сотни	Десятки	Единицы	Сотни	Десятки	Единицы
миллионов			тысяч
9	8	7	6	5	4	3	2	1

 

Схема разбора числа

1. Прочитайте число (9409 — девять тысяч четыреста девять).
2. Назовите число единиц каждого разряда и каждого класса ( 9 ед.1 разряда, или 9 ед; 4 ед. 3 разряда, или 4 сотни; 9 ед. 4 разряда, или 9 тысяч; 409 ед. 1 класса и 9 ед. 2 класса).
3. Назовите общее число единиц каждого разряда

(9409 ед., 940 дес., 94 сот., 9 тыс.).

4. Замените число суммой разрядных слагаемых (9409=9000+400+9).
5. Назовите число, предшествующее при счете данному, и число, следующее при счете за данным (9408, 9410).
6. Назовите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют столько же разрядов, что и данное число ( 1000, 9999).
7. Укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи данного числа и сколько среди них различных (всего 4 цифры, различных 3).
8. Используя все цифры данного числа, запишите наименьшее и наибольшее числа (4099, 9940).

Учитель кладет в верхний правый карман палочки по одной до 10 (например, 7, 8, 9, 10), а дети считают. Сколько здесь палочек? Как назвать иначе? (1 дес) Десять палочек будем вкладывать во второй карман, если считать справа налево (завязывает палочки в пучок и ставит его во второй карман, а в первый карман кладет 1 палочку). Сколько здесь всего палочек? (11) Сколько десятков и отдельных единиц? (1 дес. и 1 ед.) Вкладывает еще одну палочку и повторяет вопросы, затем добавляет еще одну палочку и т.д. Кто разложит в карманы 15 палочек? Сколько здесь всего палочек? Сколько десятков? (1 дес.) Что показывает цифра 1? (1 дес.) Сколько отдельных единиц в числе 15? (5 ед.) Обозначим цифрой (ставит в нижний правый карман цифру 5). Что обозначает цифра 5? (5 ед.) Здесь записано число 15. На первом месте, считая справа налево, записано 5 единиц, а на втором 1 десяток.

Аналогично рассматриваются еще 2-3 числа (19,11,10). Можно предложить обратное упражнение: положить столько пучков десятков и отдельных палочек, сколько обозначено цифрами, и прочитать число.

Рассмотрев несколько чисел, учитель начинает приучать обучающихся к работе по общей схеме разбора числа. Обучающиеся отвечают так: 1) число восемнадцать; 2) в этом числе 1 десяток и 8 единиц; 3) в числе всего 18 единиц; 4) перед числом идет число 17, за числом 18 следует 19; 5) для записи понадобилось две

цифры. Остальные пункты вводятся по мере дальнейшего усвоения знаний о нумерации.

Нумерация чисел от 20 до 100 идет по такому же плану.

Для закрепления нумерации в пределах 100 вводится понятие о сантиметре и чуть позже о дециметре. Например, 15 сантиметров они рассматривают как 1 десяток и 5 единиц сантиметров, т.е. 1 дециметр 5 сантиметров.

При изучении нумерации обучающиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц, или иначе: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда. После этого знакомятся представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых: 57=50+7.

На знании разрядного состава числа основано решение выражений вида 10+2=12, 12-2=10, 12-10=2. Например, 12 — это 1 десяток и 2 единицы, вычитаем 2 единицы, остается 1 десяток; значит 12-2=10. обучающиеся знакомятся с понятиями: однозначное и двузначное число, четное и нечетное число. В дальнейшем при изучении сложения и вычитания включаются упражнения, связанные с нумерацией.

 

Задание 6. Письменно дайте ответ на вопрос

Математические понятия, математические предложения.

Школьная математика включает фрагменты различных математических теорий: арифметики, алгебры, геометрии, математического анализа в неформальном изложении.

Отличительная черта математики в том, что в ней используется символический язык как рабочий аппарат. Как правило, словесно символьный язык чаще используется в школе, т.е. символы дополняются записями на русском языке, но учитель должен понимать, что любое математическое рассуждение может формализовано.

Остановимся на «грамматике» языка математических знаков. Знаки и комбинации знаков имеющие самостоятельный смысл бывают четырех сортов:

1) Запись является обозначением какого либо определенного вида (2.3-0.6:2; (1001²-999²)/(1001+999)).

Являются обозначением одного и того же числа «2».

2) Записи, которые содержат знаки переменных и превращаются в запись первого рода при замене всех переменных (x+y).

3) Высказывания – записи относительно которых имеет смысл вопрос истинны они или ложны ((1001²-999²)/(1001+999)=5).

4) Записи которые содержат знаки переменных и превращаются в высказывания при замене всех входящих в них переменных именами предметов (x+y=3).

Записи первых двух сортов называют термами, третьего и четвертого – формулами. Термы не содержащие переменных являются именами предметов, а формулы не содержащие переменных высказываниями.

Математические понятия.

Термин понятие с логической точки зрения определяется как мысль о предметах и явлениях действительности, отображающее их общие существенные признаки связи и отношения.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений). Это объем понятия и характеристическое свойство присуще всем объектам этого класса только им. Например, понятие треугольник содержит в себе класс всевозможных треугольников, это объем понятия и характеристические свойства, наличие трех сторон, трех вершин, трех углов – содержание понятия.

Понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уровней, объем понятия и характеристическое свойство равенства, содержащее одну или несколько переменных.

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объект с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Формирование понятия – сложный психологический процесс, протекающий часто по следующий схеме: ощущение, восприятие, представление, понятие.

В философии этот процесс описывают как от живого к созерцанию, к наглядному представлению и от него к понятию.

Заключительным этапом формирования понятия является его определение.

В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий. Чаще всего, особенно в геометрии, встречаются определения через ближайший род и видовое отличие. Например, прямоугольником называется параллелограмм с прямыми углами. Прямоугольник определяемое понятие, параллелограмм ближайший род – определяющее понятие. Прямой угол видовое отличие.

Требования к определениям:

1) В определении не должно быть «порочного круга»;

2) Каждый термин должен определяться только один раз;

3) Принцип однозначности. Символ, термин используется в качестве имени не более одного раза.

4) Принцип замены имен, предложение меняет своего истинного значения, если заменить некоторые слова синонимами ((АВ) или «прямая АВ»

Математические предложения.

Каждая математическая теория представляет множество предложений описывающее какую-то структуру, или какой-то аксиоматизируемый класс структур.

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

1) Предложение записано или сформулировано на языке данной теории состоит из математических и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов и символов.

2) Предложение истинно, т.е. это или аксиома или это предложение доказывается.

Примеры:

1. a) Сумма углов всякого треугольника = 180 градусам. Записано на языке геометрии, хотя и на русском одновременно.
2. b) Прямая имеет вид туго натянутой нити. Содержит термины имеет вид, туго натянутаянить не принадлежат языку геометрии.

Раскрыть логическую структуру сложного предложения значит показать из каких элементарных предложений сконструирована данное сложное предложение.

Любое повествовательное предложение, относительно которого известно истинно оно или ложно является высказыванием. Высказывание может выражено в виде слов и в виде знаков.

Восклицательное, вопросительное предложение не являются высказыванием.

Предложение с переменными называют высказываниями или формами .

Высказывание, которое можно разложить на части называют сложным высказыванием. Конструируются сложные предложения при помощи логических операций ( , и, или, если то, тогда и только тогда, отрицание).

Основные виды математических предложений:

1. Аксиома – (от греч. Авторитетное предложение) предложение принимаемое без доказательства.

Аксиомы и понятия составляют фундамент математической теории.

К системе аксиом предъявляются требования:

1) Независимость;

2) Непротиворечивость;

3) Полнота.

2. Постулат – (от латинского – требование) предложение в котором выражаются некоторое требование, которому должно удовлетворять понятие или отношение между понятиями. Например, отношение эквивалентности удовлетворяет трем постулатам:

1) Рефлексивно (а=а);

2) Симметрично (а=в, в=а);

3) Транзитивно (а=в, в=с, а=с).

 

Задание 7. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

I вариант:

1. Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, определите их истинность

а) Москва — столица России;  — истинное высказывание.

б) 42 при делении на 5 дает остаток 3; — ложное высказывание

в) Латунь-очень мягкий металл. — ложное высказывание.

г) Эх!!!;

д)Неужели?.

2. Какие из высказываний являются составными: выделите элементарные высказывания и логические связки:

а) В одном метре 100 см или 10 дм; В одном метре 100 см. И В одном метре 10 дм. Истинное

б) Студент обязан посещать лекции и их конспектировать; Студент обязан посещать лекции. И студент обязан конспектировать лекции. Истинное

в) Если не будет выполнена контрольная работа, то студент не будет допущен к экзамену.

3. Сформулируйте отрицание высказываний и укажите, что истинно высказывание или отрицание:

а) Сумма цифр числа 312 равна 6; Сумма цифр числа 312 не равна 6; Истинно высказывание

б) Число 2 является корнем уравнения х+1 =4. Число 2 не является корнем уравнения х+1 =4. Истинно отрицание

 

Задание 8.

1. Письменно дайте ответ на вопрос «Множества и операции над ними».

Множество – это определенная совокупность различных объектов (предметов или понятий), объединенных в одно целое. Объекты. Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами, а их элементы – Конечное множество можно задать перечислением его элементов. При задании множества в форме списка непосредственно.

Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: 1) пустое множество является подмножеством любого множества Æ ; 2) каждое множество является подмножеством самого себя .

Операции над множествами

системах реального мира, особенно в так называемых гуманистических системах, включающих людей”.

Началом практического применения теории нечетких множеств можно считать 1975 г., когда Мамдани  и Ассилиан (Mamdani and Assilian) построили первый нечеткий контролер для управления простым паровым двигателем. В 1982 Холмблад и Остергад (Holmblad and Osregaad) разработали первый промышленный нечеткий контроллер, который был внедрен в управление процессом обжига цемента на заводе в Дании. Успех первого промышленного контролера, основанного на нечетких лингвистических правилах “Если — то” привел к всплеску интереса к теории нечетких множеств среди математиков и инженеров. Несколько позже Бартоломеем Коско (Bart Kosko) была доказана теорема о нечеткой аппроксимации (Fuzzy Approximation Theorem), согласно которой любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике. Другими словами, с помощью естественно-языковых высказываний-правил “Если — то”, с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколько угодно точно отразить произвольную взаимосвязь “входы-выход” без использования сложного аппарата дифференциального и интегрального исчислений, традиционно применяемого в управлении и идентификации.

Системы, основанные на нечетких множествах разработаны и успешно внедрены в таких областях, как: управление технологическими процессами, управление транспортом, медицинская диагностика, техническая диагностика, финансовый менеджмент, биржевое прогнозирование, распознавание образов. Спектр приложений очень широкий — от видеокамер и бытовых стиральных машин до средств наведения ракет ПВО и управления боевыми вертолетами. Практический опыт разработки систем нечеткого логического вывода свидетельствует, что сроки и стоимость их проектирования значительно меньше, чем при использовании традиционного математического аппарата, при этом обеспечивается требуемый уровень робастности и прозрачности моделей.

 

2. Решите задачу с помощью диаграммы Эйлера-Венна

В отчете об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки таково: все три языка – 5% немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, составивший этот отчет, был уволен. Почему??

Во первых: потому что всего было 100 человек, а 10+8+20+30+23+50=141

во вторых: немецкий язык был указан несколько раз и везде число изучающих этот язык разное. Тоже само со всеми остальными языками.

Задание 9. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

 

I Вариант:

1)  а) Найдите  АВ, АВ, АС, АВ\С, если:

А={13, 7, 11, 25, 42}

В={7, 9, 10, 11, 13}

С={7, 11, 13}

б) Найдите  АВ,  АВ,  А\В, если:

1) А= {5, 6, 7, 8, 9, 10} и  В ={6, 7, 8, 10}

2) А= {x: x ϵ R, -4<x<5} и  В ={ x: x ϵ R, -4<x ≤0}

2) а) Из геометрических фигур выполнить произвольную аппликацию, используя тему «Действия над множествами»;

Качественное фото выполненной аппликации поместить в контрольную работу.

б) В декартовой системе координат найти множество D = (A В)  C если

А: y > x;

B: y < — x;

C: x² + y² ≤ 4

 

Задание 10. Письменно дайте ответ на вопрос

Отношения на множестве.  Соответствия между элементами двух множеств.

Между двумя множествами существует пять видов отношений.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅ . Например, А = { a , c , k }, В = { d , e , m , n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅ . Например, множества А = { a , c , k } и В = { c , k , m , n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 ⁿ подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Например, А = { a , c , k , m , n } и В = { m , n , a , c , k }, А = В.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами  или диаграммами Эйлера-Венна.

 

Соответствием между элементами множества Х и элементами множества Y называется любое подмножество декартова произведения этих множеств.

Взаимно однозначные соответствия.

Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Если множества конечны, то отношение взаимно-однозначно только, если они содержат одинаковое количество элементов.

Если между множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то такие множества называются равномощными.

Объединение, пересечение и вычитание множеств. Свойства объединения и пересечения (с иллюстрацией на кругах Эйлера). Примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых учащиеся явно (или неявно) выполняют объединение (пересечение, вычитание ) множеств.

Различные совокупности называют множествами. Множества принято обозначать прописными буквами ла­тинского алфавита: А, В, С,…, Z. Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустыми обозначается символом Æ. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами. Множества бывают конечные и бесконечные.Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бесконечными — множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение множеств А и В обозначают А ÈВ. Таким образом, по определению, А ÈВ = {х \ х ÎА или х Î В].

при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А и множеству В.   Пересечение множеств А и В обозначают А Ç В. Таким образом, по определению, А ÇВ = {х / xÎA и xÎ В].

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пере­сечением данных множеств является заштрихованная область. В случае, когда множества А и В не имеют общих эле­ментов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А ÇВ =Æ.

 

 

Задание 11. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

Вариант 1

1.Отношение Р: «х кратно у» задано на множестве х ={2,4,6,8,10}

а) постройте граф  отношения Р;

б) перечислите пары, принадлежащие этому отношению.

2.Множество пар элементов из множества А = {6,7,8,9}, находящихся в отношении Р, есть {(6,7), (6,8), (6,9), (6,6), (7,8), (7,9), (7,7), (8,9), (8,8), (9,9)}. Выясните, какое из следующих высказываний истинно:

а) Р — отношение «меньше»;

б) Р — отношение «не больше»;

в) Р — отношение «не меньше»;

г) Р — отношение «меньше или равно».

3. На множестве А={3, 4, 6, 8, 12, 16} задано отношение Р: «х кратно у».

Постройте граф данного отношения  и укажите свойства отношения.

 

Задание 12. Письменно дайте ответ на один из  вопросов (номер вопроса выбирается по желанию)

1. Работа с простыми текстовыми задачами

Решение задач — это умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Методика работы над задачей складывается из пяти этапов:

1. Знакомство с текстом задачи.
2. Осознание смысла задачи.
3. Анализ задачи.
4. Решение задачи.
5. Проверка решения задачи.

Раскроем последовательность работы, содержание деятельности учителя и учащихся на каждом из этих этапов.

Знакомство с текстом задачи. Дети в разных вариантах прочитывают задачу 2 раза.

Осознание смысла задачи. Уточняется смысл отдельных слов, словосочетаний, непонятных детям. Отделяется условие от вопроса, дети перечитывают их еще раз, называют известные (данные) и определяют неизвестное (искомое), при этом учителем (учеником) заполняется опора-схема данного типа задачи или составляется на доске краткая запись условия задачи.

Анализ задачи. Осуществляется установление взаимосвязи между данными и искомым. Задача анализируется индуктивным (от частного к общему, т.е. от данных к искомому), либо дедуктивным путем (от общего к частному, т.е. от вопроса к условию). Кроме того, немаловажное значение на данном этапе принадлежит выбору арифметических действий и обоснованию их со ссылкой на второстепенные слова в условии задачи, косвенно указывающие на выбор арифметического действия для решения задачи.

Решение задачи. Производится запись решения задачи, сопровождающаяся словесными пояснениями. Особо выделяется ответ задачи. Причем ответ называется после воспроизведения вопроса задачи.

Проверка решения задачи. Осуществляется устно или письменно под руководством учителя. В результате проверки должно подтвердиться одно из данных в задаче.

Выделенные этапы органически связанны между собой, и работа на каждом этапе ведется на этой ступени преимущественно под руководством учителя.

Таким образом, только строгая последовательность в соответствии с указанными этапами в работе над задачей, четкость и систематическая работа позволят добиться результатов, т.н. научить учащихся самостоятельно находить подходы к решению задачи. Работа, проведенная на подготовительном этапе к знакомству с текстовой задачей, позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на усвоение ее структуры и на осознание процесса ее решения.

 

Задание 13. Ответьте письменно на вопросы теста

Тест «Методика обучения младших школьников решению текстовых задач»

1. 1. Ситуация, описанная на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента данной ситуации — это ____________. Текстовая задача
2. 2. Основными компонентами текстовой задачи являются:

1) условие; 2) числовые данные; 3) графическая модель; 4) требование;

5) таблица.

3. 3. Задача: «У Маши было 3 яблока, а у Саши на 2 яблока больше. Сколько яблок

было у Саши?» по классификации М.А. Бантовой является задачей на:

1) нахождение суммы;

2) увеличение числа на несколько единиц в прямой форме;

3) нахождение остатка;

4) разностное сравнение;

5) нахождение целого.

4. Текстовая задача стандартной структуры — это задача, условие которой выражено повествовательным предложением, а требование выражено ___________ . вопросом или вопросительным предложением .
5. Задачи с величинами, характеризующими процессы движения, работы, купли продажи, называются задачами с _______ величинами. пропорциональными
6. 6. Задача: «На первой полке книг на 5 больше, чем на второй, а на второй полке

книг на 3 больше, чем на третьей. На сколько книг на первой полке больше, чем на третьей?» является:

1) составной; 2) сложной; 3) простой; 4) трудной; 5) занимательной.

7. 7. К приемам анализа текста задачи относят:

1) установление отношений между данными и искомыми;

2) выделение условия и вопроса;

3) составление обратной задачи;

4) деление задачи на смысловые части;

5) словарную работу.

8. 8. Найдите методы разбора текстовых задач (составления плана решения).

1) Аналитический.

2) Исчерпывающих проб.

3) Алгоритмический.

4) Упорядоченный.

5) Индуктивный.

9. 9. Найдите способы проверки решения задачи.

1) Составление и решение обратной задачи.

2) Установление соответствия между данными и искомыми.

3) Решение задач, различных по сюжету, но сходных по математической структуре.

4) Решение задачи другим методом.

5) Пересчет.

10. 10. Подготовительная работа к введению простых задач заключается в:

1) формировании представлений о смысле действий сложения и вычитания;

2) составлении математических рассказов по иллюстрации и серии иллюстраций;

3) обучении счету предметов группами;

4) обучении предметному и схематическому моделированию;

5) развитии мыслительных операций.

11. 11. Задача, ответ на вопрос которой может быть получен только посредством

рассуждений и умозаключений, называется _________ . логической .

12. 12. Приемы выделения компонентов текстовой задачи, переформулировки текста задачи и деления текстовой задачи на смысловые части уместно использовать на этапе:

1) поиска решения задачи;

2) решения задачи;

3) анализа содержания задачи;

4) дополнительной работы над задачей.

13. 13. Установите последовательность этапов работы над задачей.

1) Дополнительная работа над решенной задачей.

2) Поиск решения задачи.

3) Анализ и усвоение текста задачи.

4) Проверка решения задачи.

5) Решение задачи.

3 2 5 4 1

14. 14. В ходы обучения младших школьников решению задач разными способами целесообразно использовать приемы:

1) переформулировки условия задачи;

2) восстановления решения по первому действию;

3) пояснения готового решения;

4) разбора задачи методом «исчерпывающих проб»;

5) составления и решения обратной задачи.

15.Содержание подготовительной работы к введению составных задач заключается  в:

1) знакомстве со смыслом действий сложения и вычитания;

2) обучении младших школьников схематическому моделированию;

3) решении простых задач цепочек;

4) упражнениях на подбор различных вопросов к одному условию;

5) решении задач с недостающими данными.

 

Задание 14. Письменно дайте ответ на вопрос.

 

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, действий над числами. Натуральное число как мера величины.

Количественное натуральное число: С теоретико-множественной точки зрения количественное натуральное число — это общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств.

Ноль — это количественная характеристика пустого множества, 0=n

Отрезок натурального ряда. Пусть а — натуральное число, тогда множество всех натуральных чисел, не превосходящих числа а, называют отрезком натурального ряда и обозначают N_a.

Пересчитать элементы конечного множества X — это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na , число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а

Правила пересчета:

начинать пересчет можно с любого элемента множества,

ни один элемент не должен быть пропущен,

каждый элемент считают только один раз.

Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.

Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.

Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B.

Свойства отношения равенства на N.

• 1) рефлексивность (aN), a=a
• 2) симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a
• 3) транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с

Отношение «меньше» на N

1 подход Пусть а и b — натуральные числа, а < b N_a является собственным подмножеством N_b, т.е. N_a N_b N_a N_b, N_a

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b.

2 подход Пусть а и b — натуральные числа

а < b Из множества, в котором b элементов можно выделить собственное подмножество из а элементов.

Свойства отношения «меньше» на N.

• — антирефлексивностьх х<х, т.е. ни одно натуральное число не может быть меньше само себя т.к. ни из одного конечного множества, в котором х элементов , нельзя выделить собственное подмножество из х элементов.
• — антисимметричностьx,уN), если х<у, то у<х, т.е. если первое число меньше второго числа, то второе число не может быть меньше первого. Если х<у , то из множества, в котором у элементов, можно выделить собственное подмножество из х элементов. Значит, из множества, в котором х элементов, нельзя выделить собственное подмножество из у элементов.
• — транзитивностьх,у,zN), если х<у, y<=»» li=»»>

Отношение обладает связанностью, т.к. x,уN), если ху, то х<у, либо у<х. (Из двух разных натуральных чисел одно обязательно меньше другого).

Порядок + антирефлексивность + связанность дают строгий линейный порядок, значит, множество N линейно упорядоченно с помощью отношения « меньше ».

1<2<3<4<…..1,2,3,4….

Свойства множества N.

Линейно упорядоченно.

Есть наименьший элемент — это 1.

Нет наибольшего элемента.

Бесконечное множество, т.к. содержит собственное подмножество, равномощное самому себе.

Дискретно, т.е. существуют такие натуральные числа х и у, что если х<у, то нет натурального числа z: x<z<у.

Известно, что числа возникли из потребности счета и из­мерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в каче­стве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснова­ния выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с из­мерением положительных скалярных величин-длин, площа­дей, масс, времени и др., поэтому прежде, чём говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некото­рые факты, связанные с величиной и ее измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1. Многие окружающие нас предметы имеют длину.
2. Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной облада­ют объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объек­тов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину; но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что раз­ные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего не скажешь о форме — один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» — особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше (больше) длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты — это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородными величинами.

1. Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «мень­ше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо од­но и только одно из отношений: А < В, А= В, А > В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямо­угольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзи­тивно: если А<В и В<С, то А<С.

Так, если площадь треугольника F₁меньше площади тре­угольника F₂, и площадь треугольника F₂ меньше площади треугольника F₃, то площадь треугольника F₁меньше площа­ди треугольника F₃.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин АиВоднозначно определяется вели­чина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А— масса арбуза, а В— масса дыни, то С = А +В — это масса арбуза и дыни.

Очевидно, что А+В = В+А и (А+В)+С= А+(В+С).

4. Величины одного рода можно вычитать, получая в ре­зультате величину того же рода.

Определяют вычитание через сложение.

Разностью величин Аи Вназывается такая величина С = А — В, что А = В + С.

Разность величин А и В суще­ствует тогда и только тогда, когда А>В.

Например, если А— длина отрезка а, В — длина отреза b, то С=А- В — это длина отрезка с (рис. )

b c

a

Рис.

5. Величину можно умножать на положительное действи­тельное число, в результате получают величину того же рода. Более точно, для любой величины А и любого положительно­го действительного числа х существует единственная величи­на В = x∙А, которую называют произведением величины А на число x.

Например, если А — время, отводимое на один урок, то ум­ножив Ана число x= 3, получим величину В = 3А— время, за которое пройдет 3 урока.

6. Величины одного рода можно делить, получая в резуль­тате число. Определяют деление через умножение величины на число.
   Частным величин А и B называется такое положительное действительное число х = А :В,
   что А = х В.

 

Так, если А — длина отрезка a, B — длина отрезка b(рис. 118) и
отрезок aсостоит из 4-х отрезков, равных b, то А:В = 4, поскольку А = 4В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью — их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измере­ние из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х,что А = х ∙Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины E. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А=х∙Е,то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = т _Е (А).

Например, если А — длина отрезка а, Е-длина отрезка b(рис.118)то А = 4-Е. Число 4 — это численное значение длиныпри единице длины Е, или, другими словами, число 4— мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7кг = 2,7∙кг; 13 см = 13∙см; 16 с = 16∙с. Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как 5/12ч = 5/12∙ч и час=60мин, то 5/12ч= 5/12∙60∙мин = (5/12∙ 60)мин = 25 мин

Величина, которая определяется одним численным значе­нием, называется скалярнойвеличиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная вели­чина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительнойскалярнойвеличиной.

Положительными скалярными величинами являются дли­на, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения ве­личин к сравнению чисел, от действий над величинами к соот­ветствующим действиям над числами, и наоборот.
1. Если величины Аи Визмерены при помощи единицы величины Е,то отношения между величинами А и Вбудет такими же, как и отношения между их численными значения­ми, и наоборот:

А=В<=>т(А)= т(В);

А<В<=>т(А)<т (В);

А>В<=>т(А)>т(В).

Например, если массы двух тел таковы, что А=5 кг, В= 3кг, то можно утверждать, что А>В,поскольку 5 > 3.

2. Если величины Аи Визмерены при помощи единицы величины Е,то чтобы найти численное значение суммы А+В, достаточно сложить численные значения величин Аи В:
   А+В=С=> m (A+B) = т(А)+т(В). Например, если А=5 кг, В=3 кг, то А+В= 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.
3. Если величины Аи Втаковы, что В=х∙А,где х— поло­жительное действительное число, и величина Аизмерена при помощи единицы величины Е,то,чтобы найти численное значение величины Впри единицы Е,достаточно, число хум­ножить на число т(А):

В=х∙А=> т(В)= х∙т(А).

Например, если масса Вв 3 раза больше массы Аи А= 2 кг, то B = 3A = 3∙(2∙кг) = (3∙2)∙кг=6 кг

В математике при записи произведения величины Ана чис­ло хпринято число писать перед величиной, т.е. х∙А.Но раз­решается писать и так: А∙х.Тогда численное значение вели­чины Аумножают на х,если находят значение величины А∙х.

Рассмотренные понятия — объект (предмет, явление, про­цесс), его величина, численное значение величины, единица величины — надо уметь вычленять в текстах и задачах. Напри­мер, математическое содержание, предложения «Купили 3 кило­грамма яблок» можно описать следующим образом: в предло­жении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойст­во — масса; для измерения массы использовали единицу массы — килограмм; в результате измерения получили число 3 — числен­ное значение массы яблок при единице массы — килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свой­ствами, которые являются величинами. Например, для чело­века — это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависи­мость, выражаемая формулой s = v∙t.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разногорода,или разнородными величина­ми. Так, например, длина и масса — это разнородные величины.

 

 

Задание 15. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

 

I Вариант:

1) Объясните, используя определение суммы целых неотрицательных чисел, что: 4+2=6.

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4,  AB= . Например, А = {a, b}, B = {k, l, m, h}. Найдем объединение множеств А и В: АВ = {a, b, k, l, m, h}. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(АВ)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.

2) Найдите значение выражения, применив правило деления суммы на число:

а) (720+600):12     в) (675+225):25

б) (770+140):35     г) (120+36+186):6.

А) 110 б) 26 в) 36 г) 57

3) Выполните действие:

а) 1,6*(-4,5)

б) -2,7*(-0,9)

в) —

а) -7,2 б) 2,43 в) -15/8*4/3= -60/24= -2,5

4) Найдите значение выражения:

-5,2*(-3)+51*(-0,4)-(-7,8)*(-2)

= -20,4

5) Решите задачу:

На первой стоянке в 4 раза меньше автомашин, чем во второй. После того как на первую приехали 35 автомашин, а со второй уехали 25 автомашин, автомашин на стоянке стало поровну. Сколько автомашин было на каждой стоянке первоначально?

Пусть х машин на первой стоянке, тогда на второй 4х. Составляю уравнение:

х+35=4х-25

60=3х

х=20

20 машин было на первой стоянке. Тогда на второй 4*20=80 машин.

Ответ: 1 стоянке — 20 машин, 2 стоянка — 80 машин

 

Задание 16. Письменно дайте ответ на вопрос

Делимость целых неотрицательных чисел. Расширение понятия числа.

Как известно, вычитание и деление на множестве нату­ральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и bрешается просто — доста­точно установить (по записи чисел), что b<а.Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число bили нет, не выполняя непосредственного деле­ния ана b. В результате этих поисков были открыты не толь­ко некоторые признаки делимости, но и другие важные свой­ства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики Делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2,3,5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширя­ют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах дока­зательства, о свойствах отношений и др.

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

В этом случае число bназывают делителем числа а, а число а — кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q =3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 — это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8. В том случае, когда а делится на b, пишут: а ^:. b. Эту запись »« читают и так: «а кратно b». Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 -делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель bданного числа а не превышает этого числа, т.е. если

а ^:. b, то b < а.

Доказательство. Так кака ^:. b, то существует такое q Є N,что a=bqu, значит, a-b=bq–b= b·(q— 1). Поскольку q Є N,тоq≥ 1. Тогда b· (q— 1) ≥ 0 и, следовательно, b≤ а.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно.Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое нату­ральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, — их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …, и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где qпринимает значения 1, 2, 3,….

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а ^:_. а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а ^:. bи а ≠ b, то b⁞͞a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞. bи а ≠ b.Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ bи b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а ⁞ b и b⁞с, то а⁞ с.

Доказательство. Так как а^:. b, то существует такое нату­ральное число q, что a = bq, атак как b ⁞ с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: a = bq = (cp)q = c(pq)- Число pq— натуральное. Значит, по определе­нию отношения делимости,
а ⁞ с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а₁, а₂, …,а_пделится на натуральное число b, то и их сумма a₁ + а₂ + … + а_nделится на это число.

Доказательство. Так как а₁ ⁞ b,то существует такое на­туральное числоq₁, что а₁ =bq₁. Так как а₂ ⁞ b, то существует такое натуральное число q₂, что а₂ = bq₂. Продолжая рассуж­дения, получим, что если а_n ^:. b, то существует такое натуральное число q_n, что а_п = bq_n. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а₁ + а₂ + … +а_пв сумму вида bq₁ + bq₂ + … + bq_n. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q₁ + q₂ + … + q_nобозначим буквой q. Тогда a₁ + a₂ + … + a_n = b(q₁ + q₂+… + q_n) = bq, т.е. сумма а₁ + а₂ +… + а_п оказалась представленной в виде произведения числа bи некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а₁ + а₂ +… + а_п делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а₁ и а₂ делятся на bи а₁≥ а₂ , то их разность а₁ — а₂ делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Доказательство. Так как а^:. b, то существует такое натуральное число q, что a= bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах=(bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx)и,значит, ax = b(qx), где qx — натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ax^:. b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число bне делится.

Доказательство. Пусть s = а₁+ а_г+…+а_п +» с и известно, что а₁ ^:. B, а₂ ^:. B,
___ ___ а₃ ^:. b, … а_n ^:. b, но с ^:. b. Докажем, что тогда s ^:. b
Предположим противное, т.е. Пусть s ^:. b. Преобразуем сумму s к виду с=s—(а₁ + а₂ +… + а_n). Так как s ^:. b по предположению, (а₁ + а₂ +… + а_n)^:. b согласно признаку делимости суммы, то по теореме делимости разности с ^:.b ____

Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, s ^:. b.
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так 34^:.2,376^:.2,124^:.2, но 125 не делится на 2.

Теорема 9. Если в произведении abмножитель aделится на натуральное число т, а множитель bделится на натуральное число n,то abделится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведе­ние bс,причем с— натуральное число, то и а делится на b.

Доказательство. Так как асделится на bc,то существует такое натуральное число q,что ас=(bc)q,откуда ас=(bq)cи, следовательно, а=bq,т.е. а^:.b.

 

Задание 17. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

 

I Вариант:

1. Разложить на простые множители 224 и 120.

224 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7 = 25 · 7.

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

2. Найти НОД чисел 196, 140, 240.

Разложим числа 196, 140 и 240 на простые множители

196 = 2 × 2 × 7 × 7

140 = 2 × 2 × 5 × 7

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Подчеркнём общие множители

196 = 2 × 2 × 7 × 7

140 = 2 × 2 × 5 × 7

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Наибольший общий делитель чисел 196, 140 и 240

Перемножим общие множители

НОД(196, 140, 240) = 2 × 2 = 4

3. Найти НОК чисел 196, 140, 210.

Разложим числа 196, 140 и 210 на простые множители

196 = 2 × 2 × 7 × 7

140 = 2 × 2 × 5 × 7

210 = 2 × 3 × 5 × 7

Подчеркнём множители второго и третьего чисел которые не вошли в первое число

140 = 2 × 2 × 5 × 7

210 = 2 × 3 × 5 × 7

Наименьшее общее кратное чисел 196, 140 и 210

Произведение множителей первого числа и подчёркнутых будет НОК

НОК(196, 140, 210) = 2 × 2 × 7 × 7 × 5 × 3 = 2940

4. Указать, какие из данных чисел делятся на 4, 9, 6:

8762;  21876;  117063;  810546.

На 4 делятся 21876

На 9 делятся 117063

На 6 делятся 21876 810546

8762 не делится без остатка не на 4, не на 9, не на 6.

5. Написать наименьшее пятизначное число, кратное 9.

Это число 10008

наименьшее пятизначное число равно 10000 чтобы число было кратным 9 сумма цифр этого числа должна делиться на 9 без остатка добавляем 8 получаем число 10008

10008/9=336

наименьшее пятизначное число кратное 9 равно 10008

6. Решите уравнение, используя зависимость между компонентами:
   а) (Зх+5х)* 18=144

8х*18=144

8х=144:18

8х=8

х=8:8

х=1

б) 48:(3х-х) =2

48:2х=2

2х=48:2

2х=24

х=24:2

х=12

7. Выполните действия: 11*101- 5454 : (14800 – 73 * 202) + 8890

11 × 101 = 1 111

73 × 202 = 14 746

14 800 − 14 746 = 54

1 111 − 54 = 1 057

1 057 + 8 890 = 9 947

Ответ 9947

8. Как изменится разность, если вычитаемое уменьшить на 125, а уменьшаемое оставить без изменения?

разность уменьшится на 125

9. Сумма трех чисел равна 1107. Третье число больше второго на 150 и меньше первого на 186. Найти эти числа.

решение

пусть Х-3-е число, тогда Х-150 — второе число, Х+186 — первое число.

Х+(Х+186)+(Х-150)=1107

Х+Х+186+Х-150=1107

3Х=1107+150-186

3Х=1071

Х=1071:3

Х=357 — третье число

357+186=543 — первое число

357-150=207 — второе число.

Проверяем: 357+543+207=1107

 

Задание 18. Письменно дайте ответ на один из вопросов (номер вопроса выбирается по желанию).

1. Работа над величинами

В математике под величиной понимают такие свойства предметов, которые поддаются количественной оценке. Количественная оценка называется измерением. Процесс измерения предполагает сравнение данной величины с некоторой мерой, принятой за единицу при измерении величин этого рода. В результате измерения величина получает определенное числовое зна­чение при выбранной единице измерения.

Современная математика различает такие понятия как число и величина. Хотя эти понятия и являются тесно свя­занными, но такие операции, как счет и измерение, раз­личны по своей сути. Число – это мера величины, и появилось число в большей мере из-за необходимости количественной оценки процесса измерения величин.

При традиционном подходе в основу изучения математики как учебной дисциплины положено понятие числа и величины. Создатели системы развивающего обучения (В.В Давыдов, Д.Б. Эльконин и др.) считают, что понятие «число» не является исходным математическим понятием, и его введение на первых этапах обучения противоречит логике научного построения предмета и не приводит к формированию истинно теоретических знаний. Исходным математическим понятием, по мнению многих ученых должно стать понятие величины, т.к. учение о величинах играет «важнейшую роль в деле обоснования всей математики» (Каган В.Ф. цит. По Тихоненко)

В соответствии с государственными стандартами школ России, в начальной школе рассматриваются такие величины, результат измерения которых выражается целым положительным (натуральным) числом. К таким величинам относятся: длина, площадь, масса, емкость (объем), время, скорость.

Методика изучения величин

Изучение каждой из величин имеет свои методические особенности, однако можно выделить следующие общие этапы в технологии изучения величин:

1. Выяснение и уточнение имеющихся у школьников пред­ставлений о данной величине (на основе дошкольного опыта).
2. Сравнение однородных величин (визуально, с по­мощью ощущений, наложением, приложением, путем ис­пользования различных мерок).
3. Знакомство с единицей измерения величины и с измери­тельным прибором.
4. Формирование измерительных умений и навыков.
5. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах одного наименования (при решении задач).
6. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наи­менования, в величины, выраженные в единицах двух на­именований, и наоборот.
7. Сложение и вычитание величин, выраженных в еди­ницах двух наименований.
8. Умножение и деление величины на число.

Методика изучения длины

Длина – свойство всех материальных тел и геометрических объектов, заключающихся в их протяженности в пространстве в каждом (из возможных) направлений.

С понятием «длина» учащиеся знакомятся в дошкольный период: правильно устанавливают отношения длиннее-короче, шире-уже, выше-ниже.

Задачи изучения темы:

1) Сформировать конкретные представления о длине отрезка.

2) Познакомить учащихся с единицами длины и их соотношениями.

3) Сформировать измерительные навыки (навыки работать с линейкой).

4) Сформировать умение складывать и вычитать длины, выраженные в единицах двух различных наименований, а также умножать и делить их на число.

Конкретные представления о длине отрезка формируются у учащихся в ходе практических работ. Знакомство с первой единицей измерения длины– сантиметром происходит, в теме «Десяток». Сантиметр вводится как длина двух клеток тетрадного листа по следующему плану.

1. Визуальное сравнение длин предметов с единым началом.
2. Сравнение предметов по длине наложением.
3. Практическая работа по вычерчиванию равных и неравных отрезков на линованной бумаге.
4. Подведение учащихся к необходимости введения единицы измерения длины — сантиметра.
5. Знакомство с единицей измерения длины – сантиметром (устанавливается длина отрезка в 1 см, равна приблизительно двум клеткам тетрадного листа). Запись – 1см (без точки).
6. Вычерчивание полоски в 1 см, наблюдение за длиной отрезка в 1 см по линейке.
7. Формирование навыков измерения длин объектов с помощью линейки.

Позднее, при изучении нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения – дециметр, затем метр. Работа проходит по тому же плану. Учитель обосновывает введение новой единицы измерения длины. Учитель предлагает с помощью модели в 1 см измерить ширину книги, парты. Это приводит учащихся к убеждению: такой процесс измерения затруднителен. Тогда учитель предлагает полоску в 1 дм, сообщает ее название, записывая полную и сокращенную запись на доске. Реальным подсчетом устанавливают, что в 1 дм содержится 10 см.

При знакомстве с единицей измерения длины – метр обосновывается необходимость введения новой единицы измерения. Учитель предлагает измерить длину класса, используя меру в 1 дм или 1 м. Дети приходят к выводу, что для измерения ширины класса следует воспользоваться более крупной мерой, которую учитель называет метром.

Реальным подсчетом устанавливаются отношения между единицами измерения длины: 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм, 1м = 100 см.

Наглядное представление о миллиметре учащиеся получают, рассматривая деление на обычной масштабной линейке или на миллиметровой бумаге. Дети приступают к измерениям с точностью до миллиметра (с помощью циркуля, а также с помощью линейки).

Знакомством с единицей измерения длины в 1 км заканчивается изучение мер длины. Проводится практическая работа на местности. Дети вместе с учи­телем проходят расстояние, равное 1 км (или 500 м) (полезно заметить время, за которое удалось пройти это расстояние). Измеряют пройденное расстояние либо шагами (2 шага при­мерно составляют 1 м), либо с помощью рулетки или мерной веревки. Попутно дети упражняются в определении некоторых расстояний на глаз.

В 4-ом классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц длины и их отношений. Таблица усваива­ется в процессе упражнений вида: сколько метров в 1 км? Во сколько раз метр больше де­циметра? На сколько сантиметров 1 м больше, чем 1 см? Сколько метров составляет половина километра? четверть километ­ра? десятая часть километра? и т.п. Продолжается работа по преобразованию и сравнению длин, выраженных в единицах двух наименований, изучаются устные и письменные приемы вычислений над ними.

Методика изучения площади

Площадь – свойство всех поверхностей материальных и геометрических тел, плоских геометрических фигур, характеризующее «суммарную» одновременную протяженность в бесконечном множестве направлений.

В 1-м и во 2-м классах учащиеся имеют представление о площади как о свойстве плоских геометрических фигур, с уверенностью отвечают на вопросы: «что больше – колхозное поле или школьный двор?». Они осознают, что разные фигуры могут иметь одинаковые и различные площади. Этому способствуют упражнения на вырезание фигур из бумаги, составление фигур из заданных частей, деление фигур на части.

При знакомстве с понятием «площадь фигуры» учащиеся выполняют задания следующих видов: сравнение площадей фигур методом наложения; сравнение площади фигур по количеству равных квадратов; вычерчивание фигур, состоящих из заданного количества квадратов.

Таким образом, формируется понятие о площади как о числе единичных квадратов, содержащихся в геометрических фигурах.

Первой общепринятой единицей измерения площади, с которой знакомятся учащиеся начальных классов, является площадь квадрата со стороной 1 см – квадратный сантиметр (см  ).

Каждый ученик должен иметь модель квадратного сантиметра, чтобы он мог изме­рить любые индивидуальные геометрические фигуры. В результате многократного измере­ния геометрических фигур учащиеся на вопрос «Что значит измерить площадь?» отвечают: «Измерить площадь – значит, узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит».

Программой курса начальной школы пре­дусмотрено знакомство учащихся с вычисле­нием площади плоской фигуры с помощью па­летки. Палетка – сетка квадратов, нанесенная на прозрачную пластинку. Знакомство с палеткой обосновывается практической необходимостью. Выполняя ряд заданий, учащиеся убеж­даются в том, что укладывать модель квадрат­ного сантиметра в той или иной фигуре долго и неудобно, а поэтому целесообразно исполь­зовать палетку. На этом этапе происходит сравнение площадей фигур, содержащих це­лое количество квадратов и не целое – полови­ны. Работая с палеткой, учащиеся, по сути, знакомятся с процессом приближенного спо­соба нахождения площади плоской фигуры, со способом подсчета количества нецелых квадратных сантиметров, которое надо разде­лить на 2 и полученное число сложить с чис­лом целых квадратных сантиметров, содержа­щихся в данной фигуре.

Выполняя ряд заданий на нахождение площади плоской фигуры с помощью палет­ки, учащиеся приходят к выводу, что прием измерения площади с помощью палетки гро­моздкий и может быть использован только для измерения площадей фигур небольших размеров.

Учитель ставит перед учениками задачу: измерить площадь классной комнаты. Извест­ными способами этот процесс измерения пло­щади фигуры затруднителен. Поэтому следующим этапом методики формирования представления о площади пло­ской фигуры является знакомство учащихся с приемом вычисления площади прямоугольника (квадрата) косвенным путем, который за­ключается в измерении длин сторон данных фигур и в нахождении произведения получен­ных чисел.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся также с единицами измерения площади – квадратным дециметром и квадратным метром. Знакомство происходит по той же системе, которая была предложена при знакомстве с квадратным сантиметром.

После определенной работы по установлению соотношений мер площади составляется таблица:

1 м  =100 дм

1 дм  =100 см

1 м  =10000 см

Также в 4 классе учащиеся знакомятся с 1 а (аром)=100 м  и 1 га (гектаром)=10000 м  .

1 га=100 а

1 км  =100 га

Ар – это квадрат со стороной 10 м. В просторечии 1 ар часто называют соткой.

В этот период продолжается работа по решению практических задач на вычисление площади класса, коридора и т.д. Уделяется внимание и решению задач на вычисление площади фигур, составленных из прямоугольников и квадратов. Учащиеся приходят к выводу, что площадь такой фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих.

Методика изучения массы и емкости

Масса – одна из основных физических величин, определяющая в земных условиях свойство всех материальных тел и частиц, ощущаемое нами как давление предмета на руку.

Формирование представлений о массе происходит по следующему плану:

1. Сравнение массы предметов по ощущению (тяжелее — легче).
2. Выявление отношений «тяжелее — легче» с помощью измерительных приборов (чашечных весов и весов других видов).
3. Знакомство с единицей массы – килограммом (происходит в процессе выполнения практических работ, связанных со сравнением массы предметов, незначительно отличающихся друг от друга).
4. Знакомство с чашечными весами и с использованием гирь в 1 кг, 2 кг, которые учитель приносит в класс. Выполняя практические работы, устанавливают, что небольшие предметы можно измерить гирей массой 1 кг, 2 кг, а покупая, например арбузы, используют гири массой в 5 кг, 10 кг.
5. На последующих уроках знакомятся с единицей измерения емкости – литром.

Демонстрируется емкость соуда в 1 л, проводится практическая работа по измерению вместимости сосудов: устанавливают, что в банке 3 л, в ведре – 10 л. Решают задачи, связанные с составом числа: «В одну банку входит 3 л, в другую – 5 л. Как с их помощью отмерить 2 л, 8 л, 13 л?»

6. Знакомятся со свойствами величин, осознавая, что их можно складывать и вычитать: 9 л —  л = 3 л;  л + 3 л = 8 л;  кг + 4 кг = 9 кг; 7 кг —  кг = 3 кг.
7. С единицей измерения массы граммом знакомятся при взвешивании небольших предметов: 200 граммов масла; пачки печенья массой 100 г; 5 г лекарства.
8. Завершается изучение мер массы знакомством с такими единицами массы, как центнер, тонна (4 класс). Чтобы у учащихся создалось представление о центнере, тонне как единицах измерения массы, проводится экскурсия на овощную базу, склад, где взвешиваются большие грузы.
9. Составление таблицы, характеризующей соотношение мер массы:

1 т = 1000 кг, 1 т = 10 ц, 1 ц = 100 кг, 1 кг = 1000 г.

По мере ознакомления учащихся с понятием «масса», «объем» выполняются:

1. Упражнения, иллюстрирующие свойства сложения (вычитания) масс, объемов в процессе решения текстовых задач: «В банке 3 л молока, а вбидоне на 4 л больше. Сколько литров молока в бидоне».
2. Упражнения, раскрывающие свойства умножения (деления) массы (величины) на число: «Масса арбуза 4 кг, а тыквы в 3 раза больше. Узнай массу тыквы».
3. Задания, иллюстрирующие возможность деления массы, объема (величины) на величину: «Вместимость 1 банки 3 л. Сколько потребуется таких банок, чтобы разлить 12 л сока?».
4. Задания, направленные на выражение одной единицы измерения массы через другие, являющиеся основой выполнения арифметических действий с величинами. Например: 5 т 380 кг + 4 т 930 кг; 10312 кг = 10 т 312 кг.

Время– величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, характеризующая длительность их бытия.

Тема «Время» наиболее трудная для восприятия учащимися, т.к. время – это процесс, который не воспринимается сенсорикой ребенка непосредственно. Этот процесс воспринимается человеком опосредованно, по сравнению с длительностью других процессов, оцениваемых и воспринимаемых сенсорикой.

План знакомства с понятием «время» и единицами его измерения:

• Осознание понятия «время» через примеры из жизни (наблюдения за течением времени, за продолжительностью событий «от вечера до сегодня»);
• Практическое применение изучаемой меры измерения (использование в рассказе, составление задач, определение времени по часам, определение промежутка времени между двумя событиями);
• Составление таблицы мер времени;
• Решение задач на определение промежутка времени между двумя событиями, на сравнение временных величин;
• Упражнения для закрепления темы «Время», в результате чего учащиеся выполняют арифметические действия с именованными числами, выраженными в единицах измерения времени.

Работая над темой «Время и его измерение», учащиеся в соответствии с программой обучения должны:

• Знать такие единицы измерения времени, как час, минута, секунда, неделя, месяц, сутки, год, век; иметь представления об их продолжительности.
• Знать соотношение между единицами измерения времени, порядок следования дней недели, месяцев года;
• Определять время по часам с точностью до часа, позднее с точностью до минуты;
• Пользоваться табелем-календарем, шкалой веков.

Представление о времени формируется в 1 классе, на основе наблюдений. При изучении числа и цифры 1, учитель обращает внимание на рисунок циферблата часов, данного в учебнике, и на положение стрелок.

В третьем классе модель циферблата часов с подвижными стрелками используется для изучения таких единиц времени, как час, минута. Учащиеся усваивают устройство часов, названия стрелок (часовая, минутная). Конкретное представление о промежутке времени формируется через практическую деятельность (какой объем работы может быть выполнен в течение часа, минуты). В 4-ом классе изучаются век и секунда.

Программа предусматривает знакомство детей с названиями дней недели и их последовательностью, с месяцем и годом. В качест­ве наглядного пособия полезно иметь в классе отрывной кален­дарь или модель настольного календаря, работать с которым, надо научить детей.

По календарю учащиеся определяют порядковый номер меся­ца, устанавливают день недели, если из­вестно число и месяц, и наоборот, устанавливают, на какие числа месяца приходятся определенные дни недели (В какой день недели будет праздник 8 Марта в этом году? На какие числа приходятся воскресенья в марте? и т.п.).

Далее дети знакомятся с еще одной единицей измерения – век. 1 век=100 лет. Используется наглядное пособие «Лента времени». Это вертикальная или горизонтальная полоса с нанесенными на нее отметками, которым соответствуют временные промежутки – века.

Завершается изучение темы «Меры времени», составлением таблицы мер времени. Программой предусмотрено выполнение арифметических действий с величинами времени: 3 ч – 25 мин; 5 сут. 15 ч + 12 ч; 1 год 8 мес. + 6 мес.;

Скорость – это свойство любых изменений, происходящих во времени.

В курсе математики начального обучения скорость – это путь, пройденный объектом за единицу времени.

Скорость величина физическая, ее наименование содержат две величины – единицы длины и единицы времени: 3 км/ч; 45 м/мин; 20 см/с; 8 м/с и т.п.

Учащимся начальной школы очень трудно объяснить саму за­пись наименований, поскольку с записью дробных чисел в новом варианте учебника они не знакомятся. Трудно дать наглядное пред­ставление о скорости, поскольку это лишь условное отношение пу­ти ко времени, и ни изобразить его, ни увидеть невозможно.

При знакомстве со скоростью обычно обращаются к сравнению времени передвижения объектов или расстояний, пройденных ими за единицу времени.

Например:

Пешеход проходит 4 км в час, а велосипедист за это время проезжает в 3 раза больше. На сколько километров в час боль­ше проезжает велосипедист, чем проходит пешеход?

Средняя скорость – это среднее арифметическое нескольких значений скорости. Например:

Мотоциклист ехал 3 ч со средней скоростью 60 км/ч и 2 ч со средней скоростью 70 км/ч. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость его движения.

При решении задач на движение в некоторых вариативных курсах математики используются понятия: ско­рость сближения и скорость удаления.

Скорость сближения – это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.

Скорость удаления – это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.

 

Задание 19. Ответьте письменно на вопросы теста

Тест «Методика изучения пропедевтического материала в начальном математическом образовании

1. 1. Найдите утверждения, подтверждающие, что площадь — это величина.

1) Площадь можно измерить и выразить результат измерения числом.

2) Площадь имеют все фигуры, ограниченные замкнутой линией.

3) Площадь — это место в городе.

4) Площадь характеризует свойство предмета занимать место на плоскости (поверхности).

 

2. 2. Отметьте верные высказывания.

1) Килограмм, литр и метр — это единицы массы, объема и длины.

2) 1 000 000 000 000 мм = 1 000 000 км.

3) Площадь круга больше площади квадрата, построенного на диаметре круга.

4) Объем — это величина, характеризующая размер любых геометрических фигур.

 

3. Отметьте неверные высказывания.

1) Точка, линия, отрезок — это фигуры нулевой площади.

2) Масса двух одинаковых по размеру коробок всегда одинакова.

3) Углы сравнивают по величине наложением.

4) Сравнивая предметы по массе с помощью мускульных усилий, легко ошибиться.

5) Чем больше мерка, тем больше число, полученное в результате измерения величины.

 

4. 4. Дидактические цели изучения темы «Меры времени» в начальной школе формулируются так:

1) воспитание бережного отношения к природе;

2) расширение кругозора учащихся за счет изучения исторического материала;

3) формирование представления о времени как о величине, характеризующей

длительность и хронологию событий;

4) углубление пространственно-временных представлений младших школьников;

5) знакомство с временами года и их признаками.

 

5. 5. Отметьте неверные высказывания.

1) 1 км/мин = 60 км/ч.

2) Все геометрические фигуры имеют площадь.

3) Все плоские геометрические фигуры имеют нулевой объем.

4) Углы можно сравнить по величине только при помощи измерения их градусной меры транспортиром.

5) При измерении длины отрезка разными мерками получится одно и то же численное значение величины.

 

6. Установите последовательность изучения градусной меры угла.

1) Сравнение углов непосредственно (визуально, наложением).

2) Опосредованное сравнение углов с использованием различных мерок.

3) Формирование представлений об угле, видах углов.

4) Введение градуса как единой единицы измерения величины угла.

5) Тренировка в измерении величины угла и построении углов заданной градусной меры.

31245

7. 7. Учащиеся выполняют измерение величин с помощью различных мерок с

целью:

1) осознания зависимости между меркой и числом, полученным в результате измерения;

2) развития практических умений и навыков;

3) формирования умений работать в группах;

4) осознанного выбора единой (общепринятой) единицы измерения конкретной

величины.

 

8. 8. Установите соответствие между названием этапа и его содержанием.

1) Опосредованное сравнение величин; 2) введение стандартных единиц измерения величин; 3) свойства величин; 4) непосредственное сравнение величин.

а) Сравнение величин визуально, с помощью мускульных усилий, наложением;

б) сравнение, сложение, вычитание однородных величин, умножение и деление

величин на число, нахождение кратного отношения величин;

в) измерение величин различными мерками, исследование взаимосвязи между

единицей величины и ее численным значением;

г) знакомство с см, л, кг, см2;

д) знакомство с измерительными инструментами (линейкой, палеткой, транспортиром, весами).

1в, 2г, 3б, 4а.

9. 9. Представления о старинных единицах измерения величин (сажень, ярд и др.)

формируются с целью:

1) воспитания аккуратности;

2) формирования навыков работы с чертежными инструментами;

3) воспитания интереса к математике;

4) расширения кругозора;

5) обоснования необходимости введения стандартных (общепринятых) единиц

измерения величин;

6) иллюстрации прикладной направленности математики.

 

10. 10. Отметьте верные утверждения.

1) Учащиеся начальных классов смешивают понятия объем и масса.

2) Особую сложность для младших школьников представляет выполнение

действий с единицами времени.

3) Самая легкая для восприятия учащихся величина — это скорость.

4) Выпускник начальной школы может научиться измерять длину предметов, массу тел, время (по часам), даты (по календарю), вместительность сосудов и площадь фигур.

5) В программе авторского коллектива под руководством М.И. Моро учащиеся знакомятся с такими величинами, как температура и градусная мера угла.

 

11. 11. На этапе постановки учебной задачи учитель предлагает учащимся II класса сосчитать количество прямых, острых и тупых углов, изображенных на карточке. Учащиеся выполнили задание по-разному. Значит, тема данного урока:

1) виды углов; 2) определение вида угла путем сравнения с прямым углом;

3) построение углов; 4) сравнение углов методом наложения; 5) угол.

12. 12. Установите последовательность учебных ситуаций для этапа актуализации знаний урока по теме «Сантиметр».

1) Визуальное сравнение длин предметов (лент, полосок бумаги).

2) Задание на классификацию по различным признакам (цвету, форме, длине).

3) Сравнение предметов, близких по длине, методом наложения.

4) Сравнение длин предметов с использованием различных мерок.

2134

13. 13. Найдите упражнения, предупреждающие смешение понятий круг и окружность.

1) Отметь точки, лежащие внутри круга, вне круга, на окружности.

2) Сравни многоугольник и круг.

3) Измерь длину окружности и площадь круга, используя нитку и палетку.

4) Проведи окружность и раскрась круг.

5) Выдели цветом границу круга.

6) Начерти квадрат, сторона которого равна диаметру круга.

 

14. Найдите упражнения на пропедевтику понятий равновеликость и равносоставленность геометрических фигур.

1) Игра «Танграмм».

2) Вычисли площадь прямоугольника, если а = 3 см, b = 5 см.

3) Начерти все возможные фигуры площадью 12 см².

4) Из квадрата, площадь которого 16 см², составь прямоугольник, длина которого равна 8 см. Чему равна площадь прямоугольника?

5) Что больше: площадь круга или площадь квадрата, построенного на его диаметре?

 

15. На этапе постановки учебной задачи учитель предлагает школьникам построить четырехугольник с тремя прямыми углами. Значит, тема данного урока:

1) прямой угол; 2) виды углов; 3) прямоугольник; 4) площадь прямоугольника.

 

16. На этапе постановки учебной задачи учитель предлагает учащимся построить прямоугольник с длинами сторон 2 см, 3 см, 4 см, 6 см. Значит, основная дидактическая цель данного урока:

1) сформировать представление о площади прямоугольника;

2) вывести формулу площади прямоугольника;

3) предупредить смешение понятий квадрат и прямоугольник;

4) сформировать представление о равенстве противоположных сторон прямоугольника.

 

17.Функциональная пропедевтика в начальном математическом образовании связана с:

1) заполнением и исследованием таблиц;

2) изучением координатного угла;

3) исследованием решения задач с буквенными данными;

4) измерением величин различными мерками;

5) решением задач на нахождение суммы и остатка.

 

18. В ходе подготовки к введению понятия уравнение ученики выполняют задания на:

1) составление и анализ таблицы сложения;

2) заполнение пропусков в равенствах вида      + 3 = 7;

3) сравнение единиц площади;

4) выполнение вычислений с помощью числового отрезка;

5) дифференциацию равенств, неравенств и математических выражений.

 

19. 19. При введении понятия уравнение учитель обращает внимание младших

школьников на то, что уравнение — это равенство:

1) содержащее неизвестное число, которое может быть обозначено любым символом;

2) с окошком;

3) двух функций;

4) содержащее неизвестный компонент арифметического действия, который обозначен буквой латинского алфавита;

5) предикат, в записи которого используется знак равенства.

 

20. Для осознания учащимися смысла термина уравнение нужно использовать:

1) ассоциативный способ решения уравнений;

2) дидактические игры;

3) метод подбора корня уравнения;

4) методику «Весы»;

5) алгебраический метод решения задач.

 

21. Найдите задания из курса математики начальной школы на иллюстрацию

свойств прямой и обратной пропорциональной зависимости.

1) Измерение величин различными мерками.

2) Исследование зависимости между компонентами и результатами арифметических действий умножения и деления.

3) Сравнение и дифференциация математических объектов (выражений, задач, геометрических фигур).

4) Исследование зависимости между компонентами и результатами действий

сложения и вычитания.

5) Решение задач с величинами, характеризующими какие-либо процессы.

 

22. При выполнении этих заданий у учащихся формируется способность к символьной записи.

1) Игра «Танграмм».

2) Графический диктант.

3) Запись высказываний на математическом языке.

4) Фиксация нового знания в знаковой форме (опорный конспект).

5) Запись законов и свойств арифметических действий в общем виде.

 

23. 23. На этапе постановки учебной задачи учитель предлагает учащимся записать одним выражением группу примеров (250 : 10, 250 : 25, 250 : 50, 250 : 5). Значит, тема данного урока:

1) выражение; 2) равенство; 3) уравнение; 4) переменная; 5) деление многозначных чисел.

 

24. 24. На этапе постановки учебной задачи учитель предлагает учащимся записать на языке математики высказывание «Масса арбуза меньше 5 кг, но больше 3 кг». Значит, тема данного урока:

1) двойное неравенство; 2) неравенство; 3) равенство; 4) нестрогое неравенство; 5) неравенство с двумя условиями.

 

Задание 20. Письменно дайте ответ на вопрос

Выражения. Уравнения. Неравенства. Числовые функции.

Выражения и их тождественные преобразования

Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное зна­комство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, — это уточнить и углубить знания о вы­ражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и число­вых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математиче­ского языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются, и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он буде представлен частично, в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, •, :;

3) знаки отношений <, >, =, M;

4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обо значения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения — числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

Как известно, записи 3 + 7, 24 : 8, 3 × 2 — 4, (25 + 3)×2 -17 называются числовыми выражениями.Они образуются из чисел, знаков действий, скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3 ×2 — 4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла.

Например, выражение 8 : (4 — 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 — 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если а = 7, то 2×7 + 3;

если а = 0, то 2×0 + 3;

если а = — 4, то 2×(- 4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 — выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например œ. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2ל + 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Например, область определения выражения 5 : (х — 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выражение 5 : (7 — 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных.

Например, 2а + 3 — это выражение с одной пере­менной, а (3х + 8у)×2 — это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения — это слова математического языка.

Но, используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) — ×12 или 3х – у : + )8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание — из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение.Если f и q — числовые выражения, то (f) + (q), (f) — (q), (f) × (q), (f) • (q)- числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо.

Например, пишут так: 37 – 12 + 62 — 17+13 или 120 :15-7:12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12-4:3) + (5-8:2-7) записывают так: 12 – 4 : 3 + 5 – 8 : 2 — 7.

Определение.Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождествомна этом множестве.

Например, 5(х + 2) = 5х + 10 — тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (» х Î R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них — свойства алгебраических операций.

В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.

Например, чтобы найти произведение 35 × 4, надо выполнить преобразования: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежат: свой­ство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.

Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание.

Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 — в лож­ное 4-1 = 5-1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение.Пусть f(х) и q(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) = q(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х-1)(х+2)=0. Оно имеет два корня — числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,- 1}.

Уравнение (3х + 1) × 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Определение.Два уравнения f₁(х) = q₁(х) и f₂(х) = q₂(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х² — 9 = 0 и (2х + 6)(х — 3) = 0 равносильны так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = 6х + 1 и х² + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение f(х) = q(х) задано на множестве и h(х) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f(х) = q(х) (1) и f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т₁, — множество решений уравнения (1), а через Т₂ — множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т₁ = Т₂. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т₁ является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т₂, является корнем уравнения (1).

Пусть число а — корень уравнения (1). Тогда а Î Т₁, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(а) = q(а), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(а) имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(а) = q(а) числовое выражение h(а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т₁ Ì Т_2.

Пусть теперь а — корень уравнения (2). Тогда а Î Т₂, и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение — h(а). Получим истинное числовое равенство f(а) = q(а), что число а — корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. Т₂ Ì Т₁.

Так как Т₁ Ì Т₂ и Т₂ Ì Т₁, то по определению равных множеств Т₁ = Т₂, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему 1 можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выраже­ние с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2.Пусть уравнение f(х) = q(х), задано на множестве Х и h(х) — выражение, которое определено на том же множестве и не об­ращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = q(х) и f(х) × h(х) = q(х) × h(х) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, что они приводили к уравнению, равносильному данному.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х×9):24=3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х× 9 =24×3, или х× 9=72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х=72:9, или х=8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Неравенства  с одной переменной

Предложения 2х+7>10-х, х²+7х<2, (х+2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение.Пусть f(х) и q(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.Решить неравенство — это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х +7>10-х, х Î R является число х=5, так как 2×5+7>10-5- истинное числовое неравенство. А множест­во его решений — это промежуток (1, ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7>10-х Þ 3х> Þ х>1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенст­ва f(х) > q(х) и f(х)+ h(х) > q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d > q(х)+ d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)× h(х) > q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х)умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)× d > q(х)× d , равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > q(х) b f(х)× h(х) < q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х)умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)× d < q(х) × d, равносильное данному.

 

Задание 2. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

 

I Вариант:

1) Решите уравнение и обоснуйте каждый шаг выполненных преобразований:

а) 3х-21 = 30

3х=30-21

3х=9

Х=9:3=3

Ответ 3

б)

3/(4х-1)=8/(5х+8)

8*(4х-1)=3*(5х+8)

32х-8=15х+24

32х-15х=24+8

17х=32

Х=1

2) Решите неравенство и обоснуйте каждый шаг выполненных преобразований:

Упрощение многочлена в левой части

−x+0,5(7x+4)=−x+0,5(7x+4)=

Раскрытие скобок:

−x+3,5x+2=−x+3,5x+2=

2,5x+22,5x+2

Ответ: 2,5x+22,5x+2

Упрощение многочлена в правой части

0,5(3x−5)=0,5(3x−5)=

Раскрытие скобок:

1,5x−2,51,5x−2,5

Ответ: 1,5x−2,51,5x−2,5

2,5x+2<1,5x−2,5⇒2,5x+2<1,5x−2,5⇒

x<−4,5 или x∈(−∞;−4,5)

3) Функция f – прямая пропорциональность. Найдите коэффициент пропорциональности и заполните таблицу:

Х	-7	2/3	— 2,5	26	-42	0,5	-4,17
У	21	-2	7,5	-78	126	-1,5	12,51

Прямая пропорциональность задается формулой у = kх

Подставим  значения -2,5 и 7,5  из таблицы

7,5=k*(-2,5)

k=7,5/-2,5=-3- коэффициент пропорциональности

остальные найдем по той же схеме.

4) Постройте график функции, заданной формулой . Найдите по графику:

а) значение у, соответствующее значению х, равному 4;  2,5;  1,5;  -1; -2,5.

б) значение х, которому соответствует у, равные  8; -2.

А) х=4 у=-2

Х=2,5 у=-3,2

Х=1,5 у=-5,3

Х=-1 у=8

Х=-2,5 у=3,2

Б) у=8 х=-1

У=-2 х=4

 

Задание 21. Выполните письменно один вариант работы (номер варианта выбирается по желанию).

 

I Вариант:

1) Выразите: а) в сантиметрах 8 см 79 мм

б) в минутах 8 мин 12 с

в) в тоннах 125 кг 300 г

г) в граммах 6 ц 5 кг

А)8см79мм=8см +7,9см=15,9см

б)8мин12сек=8 12/60мин=8 1/5мин=8,2мин

в)125кг 300г=0,1253т

г) 1 ц=100 кг=100 000 г

1 кг=1000 г

6 ц 5 кг=600 000+5 000=605 000 г

2) Сравните значение величин :

а) 2 м 39 см и 2 м 93 см

б) 7825 см и 78 м 25 см

в) 15 м² 35 дм² и 435 дм²

г) 17 а 45 м² и 947 м²

а                                            б

2 м. 39 см. ≤ 2 м. 93 см.          7.825 см.=78 м. 25 см.

2 м. 39 см.=239 см.                 7.825 см.=78 м. 25 см.

2 м. 93 см.=293 см.               78 м. 25 см.=78 м. 25 см.

239 ≤ 293

в                                              г

15 м² 35 дм² ≥ 435 дм²          17 а. 45 м²  947 м²

15 м² 35 дм²= 1535 дм²         17 а. 45 м² = 1745 м²

1535 ≥ 435                             1745 ≥ 947

3) Вычислите:  а) 12 м 86 см + 3 м 45 см

б) 5 ч 48 мин + 35 мин

в) 45 т 275 кг – 18 т 130 кг

г) 26 кг 350 г – 24 кг 002 г

а) 12 м 86 см + 3 м 45 см = 16 м 31 см

1286+345=1631

б) 5 ч 48 мин + 35 мин = 5 ч 83 мин = 6 ч 23 мин

548+35=583

В)45 т 275 кг − 18 т 130 кг = 27 т 145 кг

45275−18130=27145

Г)26 кг 350 г − 24 кг 002 г = 2 кг 348 г

26350−24002=2348

4) Решите задачу алгебраическим способом:

За три дня класс собрал 150 кг макулатуры. В первый день было собрано на 10 кг больше, чем во второй, а в третий 2/3 того, что собрали в первый. Сколько килограммов макулатуры собрали в каждый из трёх дней?

Пусть х — собрали в первый день, тогда х — 10 — собрали во второй день, 2/3х  — собрали в третий день. Имеем уравнение:

х + (х — 10) + 2/3х = 150

2х — 10 + 2/3х = 150

2 целых 2/3х — 10 = 150

2 целых 2/3х = 160

х = 160 : 2 целых 2/3

х = 160 * 3/8

х = 60

60 кг — собрали в первый день.

60 — 10 = 50 кг — собрали во второй день.

60 * 2/3 = 20 * 2 = 40 кг — собрали в третий день.

Ответ: 60 кг, 50 кг, 40 кг.