Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

Задание №1. При измерении углов в триангуляции I класса получены угловые невязки треугольников. Считая, что невязки являются истинными погрешностями суммы углов треугольника необходимо провести статистическую обработку. Данные в таблице 1.1.(см. лаб. раб. №2)

Методические рекомендации:

Для исследова­ния организуют совокупность случайных независимых зна­чений изучаемого параметра и проводят ее статистическую обработку, в процессе которой находят основные параметры распреде­ления (выборочные математическое ожидание, дисперсию, асиммет­рию, эксцесс и т. п.) и определяют степень близости фактического распределения данной совокупности случайных значений некоторому предполагаемому теоретическому распределению. При анализе результатов измерений в качестве предполагаемого принимают нормальное распределение. Расчеты рекомендуется производить в формуляре (таблица 7.1)

Таблица 7.1

Последовательность обработки

1. Вычисляют следующие показатели:

а) смещение выборочного среднего арифметического значения относительно «истинного» равно

отсюда вычисляют среднее значение из ряда измерений.

б) центральный момент второго порядка (выборочная диспер­сия измеренных значений) составляет

отсюда средняя квадратическая погрешность измерений вычисляется так:

в) центральный момент третьего порядка находится следующим образом:

отсюда асимметрия кривой фактического распределения опреде­ляется как

г) центральный момент четвертого порядка выражается формулой

отсюда  эксцесс  кривой  фактического  распределения   получается равным

Замечаем, что полученная асимметрия называется левосторонней при А>0, правосторонней – при А<0. Вершина кривой фактического распределения несколько ниже вершины кривой теоретического нормального распределения при Э<0, при Э>0 — наоборот.

2. Оценивают допустимые значения асимметрии и эксцесса:

Если величины асимметрии и эксцесса незначительны и не выходят за пределы допусков — это свидетельствует о том, что фактическое распределение может быть близким к нормальному.

3. Проверяют соответствие фактического распределения слу­чайных значений e_i нормальному закону. Обычно применяют один из двух наиболее употребительных критериев согласия: Пирсона или Колмогорова.

В обоих критериях оперируют над группированными исходными данными. Для этого значения e_i располагают в возрастающем по­рядке и полученный, вариационный ряд разбивают на равные интервалы. Ширину интервала h принимают примерно равной по­ловине предполагаемой средней погрешности.

Верхние границы интервалов х_i отложены по обе стороны от нуля (столбец 1, табл. 7.2). Для каждого интервала находят частоту n_i — число случайных величин ряда, попавших внутрь соответст­вующего интервала. Эти частоты расположены в столбце 2. Норми­рованные интервалы, вычисленные по формуле

t_i = х_i/m,

приведены в столбце 3. По ним выбираются половин­ные значения Ф(t) (приложение 1), приведенные в столбце 4. Для удобства дальнейших вычислении знаки этих значений приняты анало­гичными знаками величин t_i.

В столбцах 5 и 6 записаны теоретические р_t и фактические р_ф вероятности попадания случайных величин в принятые интервалы.

Таблица 7.2

При этом величина р_t получена как разность соседних строк столбца 4, а p_ф — делением частот n_i на n — число измерений.

Теоретические частоты n_тi (столбец 7) получаются умножением теоретической вероятности р_t на число всех измерений n.

Критерий согласия Пирсона вычисляется по формуле

где k — число интервалов.

Гипотеза соответствия распределения наблюденного ряда слу­чайных значений e_i нормальному закону принимается, если соблю­дается условие c² £ c_q². Здесь c_q² — значение, выбираемое по числу степеней свободы r и уровню значимости q = 1 — p_o, где р_o — принимаемая доверительная вероятность. Число степеней свободы для нормального распределения равно r = k -3.

Для доверительной вероятности р_o = 0,95 (q — 0,05) находим (приложение 2)  c²_0,05. При c² £ c²_0,05 можно сделать вы­вод о соответствии распределения случайных погрешностей изме­рений е (см. табл. 2) нормальному закону.

Столбцы 9, 10, 11 содержат данные, необходимые при получе­нии критерия согласия Колмогорова. Накопленные вероятности получаются последовательным суммированием вероятностей р_t и р_ф столбцов 5 и 6. В столбец 11 (D) записываются разности накопленных вероятностей.

Показателем расхождения фактического и теоретического распределений является число

где D_max — абсолютное значение максимальной разности накопленных вероятностей.

Гипотеза соответствия фактического распределения ряда случайных значений к предполагаемому теоретическому принимается, если соблюдается условие l_ф£l_q. Здесь коэффициенты l_q в за­висимости от уровня значимости имеют следующие значения:

уровень значимости q  ……….……….        0,1              0,05               0,01

коэффициент l_q       …………………………       1,224                 1,358             1,627

Таким образом, по всем критериям (в том числе по значениям .эксцесса и асимметрии) можно сделать заключение о том, что фак­тическое распределение величин х подчиняется или не подчиняется нормальному закону.

Приложение 1. Значение интеграла вероятностей Ф (k) = Р (-k £ t £ k) =

Приложение 2. Допустимые значения коэффициентов c² и l=

Осн: 1. [33-36]

Контрольные вопросы:

1. Что такое ассимметрия кривой распределения?
2. Назовите виды ассиммерии.
3. Что такое экцесс? Объясните, случаи при Э>0 и Э<0?
4. По каким критериям можно проводить соответствие фактического распределения теоретическому?
5. Как вычисляется смещение средне арифметического значения?
6. Как вычисляются допустимые значения асимметрии и эксцесса?