Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

Содержание

Введение
1. Первый период развития
1.1. Геометрия Египта
1.2. Геометрия Вавилона
1.3. Геометрия древней Греции
2. Второй период развития
2.1. Труды Евклида
2.2. Труды Архимеда
2.3. Труды Менелая
2.4. Труды Аполлона Пергского
3. Третий период развития
3.1. Труды Эйлера
4. Четвертый период развития
Заключение
Список использованных источников

Введение
Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о про-странстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей про-странства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классиче-ское определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие гео-метрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о простран-стве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может слу-жить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометриче-ских идей.
Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических све-дений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые до-бывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизиро-ваны и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложе-ние не представляло собой научной теории.
Геометрия дает общее понятие о геометрической фигуре, под кото-рой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фи-гурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобра-зованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением гео-метрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действи-тельно, фигура, как она рассматривается в геометрия, и есть пространст-венная форма; поэтому в геометрии говорят, например, «шар», а не «тело шарообразной формы»; расположение и размеры определяются про-странственными отношениями; наконец, преобразование, как его пони-мают в геометрии, так же есть некоторое отношение между двумя фигура-ми — данной и той, в которую она преобразуется.
Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия.
В современном, более общем смысле, геометрия объемлет разнооб-разные математические теории, принадлежность которых к геометрия определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе гео-метрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.
В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, пе-реходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

1. Первый период развития
Первый — период зарождения геометрия как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступе-нях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Са-мое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомнен-но, не первое.
Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколе-ний она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил пу-тём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.
Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систе-матические её изложения, где её предложения последовательно доказыва-лись.
1.1. Геометрия Египта
Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требова-лось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каж-дый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием.
Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян — пирами-ды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их со-оружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.
1.2. Геометрия Вавилона
К задачам, которые вавилоняне решали алгебраическим и арифме-тическим методом, относятся и многие задания на определение длин, пло-щадей при делении земельных участков, объемов земляных выемок, хо-зяйственных построек. Все решения, встречающиеся в клинописных текстах, ограничиваются простым перечислением этапов вычисления в ви-де догматических правил: «делай то — то, делай так — то». В дошедших до нас вавилонских табличках имеются задачи абстрактного характера и внешне кажущиеся не связанными с практическими нуждами.
Но это не так: они возникли в результате теоретической обработки условий, первоначально порожденных потребностями практики при меже-вании земель, возведении стен и насыпей, при строительстве каналов, пло-тин, оборонительных сооружений и пр. Сохранилось немало планов зе-мельных угодий, разделенных на участки прямоугольной, трапецеидаль-ной или треугольной форм.
Но соответствующие геометрические фигуры воспринимались ими как абстрактные, так прямоугольник они называли «то, что имеет длину и ширину», трапецию — «лбом быка», сегмент — «полем полумесяца», парал-лельные прямые — «двойными прямыми». У вавилонян не было таких гео-метрических понятий как точка, прямая, линия, поверхность, плоскость, параллельность. Измерение производилось при помощи веревки. Геомет-рические познания вавилонян превышали египетские.
1.3. Геометрия древней Греции
Греческие купцы познакомились с восточной математикой, про-кладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теори-ей, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?
К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря вос-становленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.
Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки вы-деляют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:
1 — Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 — 5B.B. до н.э.).
2 — Систематизация полученных знаний (4 — 3 в.в. до н.э.).
3 — Период вычислительной математики (3в. до н.э. — 6 в.).
Необыкновенный расцвет науки и культуры был тесно связан с об-щим подъемом греческого производства 6 — 4 в.в. до н.э., жизненными по-требностями людей. Проблемы механики, астрономии, строительства, ар-хитектуры, мореплавания требовали совершенствования математических методов, начиная от вычислительной геометрии и до учения об отношени-ях, способах определения площадей, объемов, центров тяжести.

2. Второй период развития
Второй период развития геометрии. Известны упоминания система-тические изложения геометрии, среди которых данное в 5 в. до н. э. Гип-пократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригономет-рии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и геометрия на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упа-док античного общества привёл к сравнительному застою в развитии гео-метрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.
Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший рас-цвет геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод коор-динат позволил связать геометрия с развивавшейся тогда алгеброй и за-рождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрию по-родило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Геомет-рия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и ис-пользуются существенно новые методы.
2.1. Труды Евклида
Для геометрии эпохи эллинизма характерен интерес к построению логически завершенных теорий. Наиболее ярко эта тенденция отразилась в творчестве Евклида Александрийского (III в. до н.э.).
В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». В ней он подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое из-ложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по не-значительным переработкам книги Евклида. Но профессиональные мате-матики обращались также и к трудам других великих греческих ученых: Архимеда, Аполлония. Классическую геометрию стали называть евклидо-вой в отличие от неевклидовых, появившихся в XIX веке.
Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значимость не может быть сравнима с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н.э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвел итог по-строению геометрии и придал ей завершенную форму.
Он с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие ма-тематики включили в сочинение еще XIV и XV книги. Главная особенность «Начал» состоит в том, что они построены по единой логической схеме, и все содержащиеся в них теории строго обоснованы по принципу построе-ния научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.
2.2. Труды Архимеда
Архимеду принадлежит формула для определения площади тре-угольника через три его стороны (неправильно именуемая формулой Ге-рона). Архимед дал (не вполне исчерпывающую) теорию полуправильных выпуклых многогранников (архимедовы тела).
Особое значение имеет «аксиома Архимеда»: из неравных отрезков меньший, будучи повторен достаточное число раз, превзойдет больший. Эта аксиома определяет т. н. архимедовскую упорядоченность, которая играет важную роль в современной математике. Архимед построил счис-ление, позволяющее записывать и называть весьма большие числа. Он с большой точностью вычислил значение числа и указал пределы погреш-ности.
2.3. Труды Менелая
Менелаем были написаны два сочинения: «О вычислении хорд», в 6 книгах, и «Сферика», в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого из-вестно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения.
Главным предметом «Сферики» Менелая служит сферическая триго-нометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелая, которая прежде называлась правилом шести количеств (regula sex quantitatum). Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из чис-ла не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех осталь-ных отрезков.
2.4. Труды Аполлона Пергского
Аполлоний Пергский (ок. 260 — 170 до н. э.), древнегреческий мате-матика и астроном, ученик Евклида. В основном труде «Конические сече-ния» (8 книг) дал полное изложение их теории. Для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов. Идеи Аполлона Пергского оказали большое влияние на развитие естествознания нового времени. Ги-пербола является коническим сечением. Она может быть получена, если секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности, не проходя через вершину.

3. Третий период развития
Третий период развития геометрии. Аналитическая геометрия изуча-ет фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Диф-ференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйле-ра, геометрия Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кри-вые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупно-сти) и преобразования. Её название связано в основном с её методом, ис-ходящим из дифференциального исчисления.
К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны в 18 — начале 19 вв. Эйле-ром для аналитической геометрии (1748), Монжем для дифференциальной геометрия (1795), Ж. Понселе для проективной геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.
3.1. Труды Эйлера
В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом:
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тя-жести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера».
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с орто-центром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).
Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого много-гранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.
Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифферен-циальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.
В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне по-верхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиу-сами кривизны, и плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел форму-лу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.
1771 год: опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёр-тывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя гео-метрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него ос-новным инструментом теории поверхностей.

4. Четвертый период развития
Четвёртый период в развитии геометрия открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрия, называемой теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же гео-метрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опуб-ликовал их). Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетиче-ской, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование.
Переворот в геометрии, произведённый Лобачевским, по своему зна-чению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова геометрия , но и другие «геометрии».
Второй принцип — это принцип самого построения новых геометри-ческих теорий путём видоизменения и обобщения основных положений ев-клидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность гео-метрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам простран-ства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исклю-чено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евкли-довой геометрии. Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой геометрии, т.к. она опре-деляется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой гео-метрии.
Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно раз-личать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая — в логиче-ской непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики.

Заключение
Наука геометрия очень важна для человека. Геометрия развивалась за несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции. Большой вклад в развитие геометрии внесли известные учёные: Евклид и его книга под названием «Начала», Архимед, которому принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны, Менелай, которым были написаны два сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах и «Сферика» в 3 книгах.
Наука геометрия и сейчас развивается. Мы легко решаем задачи, для которых в древности потребовалось бы много времени и сил.
Таким образом, геометрия возникла на основе практической дея-тельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как само-стоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. Вы-сокий уровень развития современной техники ставит перед геометрией все новые и новые задачи. В настоящее время геометрия определяется как часть математики, изучающая пространственную форму, размеры и вза-имное расположение фигур.
Геометрия является одной составляющей общественной культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятни-ков мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиваться культурно и духовно, как я считаю, если он не изучал в школе геометрию, так как геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Таким образом роль возникновения геометрии в жизни человека неоценима.

Список использованных источников
1. Глейзер Г. И. История математики в школе 7-8 классы. Пособие для учителей. — М.:Просвещение,1982.
2. Гаврилюк Л. Урок первый. — М., Математика. Еженедельное учеб-но-методическое приложение к газете «Первое сентября»,2001.
3. Свешников А. Путешествие в историю математики. — М.1995.
4. Болтянский В. Г. Математика атакует родителей. — М.: Педагогика, 1973.
5. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. — М.:2003.
6. Феоктистов И. Геометрия до Евклида в очерках и задачах. — М.: Чистые труды, 2005.