Цель работы: изучение законов движения жидкостей и газов, определение вязкости газа, средней длины свободного пробега молекулы, эффективного диаметра молекулы, коэффициента диффузии газа.

Приборы и принадлежности: установка для изучения течения воздуха через капилляр, резиновые пробки с капиллярами, мерный стакан и вода.

 

Теоретические сведения

Рассмотрим течение газа через длинную трубу. Пусть при данном давлении плотность газа будет настолько большая, что средняя длина свободного пробега молекул газа   будет много меньше характерного размера канала, за который принят радиус  трубы, т. е. выполняется соотношение

В этом случае соударения между молекулами происходят намного чаще, чем их столкновения со стенками канала, и можно считать, что течение газа определяется межмолекулярными столкновениями. В этих условиях физические величины, характеризующие состояние газа, не меняются заметно на расстоянии одной средней длины свободного пробега  молекул и газ можно рассматривать как сплошную среду, а именно как жидкость. При этом под понятием «жидкость» подразумевается не агрегатное состояние вещества, а свойство сплошной среды откликаться на любое касательное усилие с бесконечной малой сдвиговой деформацией.

Для удобства рассмотрения течения жидкости по каналу будем считать, что канал имеет цилиндрическую форму и поперечное сечение канала неизменно по всей длине. В этом случае, если длина канала достаточно велика, можно считать, что течение полностью сформировано, т.е. распределение скоростей частиц жидкости по его сечению постоянно по всей длине канала.

Пусть на одном конце трубы давление будет больше, чем на другом. В этом случае в разных поперечных сечениях трубы  давления неодинаковы и  жидкость должна была бы испытывать ускорение. Однако опыт показывает, что если нет нарушения непрерывности течения, то скорости частиц жидкости в разных поперечных сечениях трубы одни и те же, т.е. ускорения нет. Это противоречие устраняется, если предположить, что на движущуюся сре­ду действует со стороны трубы сила, направленная навстречу потоку и уравновешивающая разность давлений. Эта сила называется силой внутреннего трения или силой вязкости по аналогии с силой, возникающей при движении твердых тел по поверхности.

Сила внутреннего трения существует не только между внешним слоем жидкости и трубы, но и между отдельными цилиндрическими слоями жидкости, скользящими друг относительно друга. Наличие сил внутреннего трения приводит к тому, что цилиндрический слой жидкости, прилегающий непосредственно к стенке трубы, действует на соседний с ним внутренний слой, этот слой на следующий и т.д.

Таким образом, тангенциальные силы, параллельные векторам скоростей частиц жидкости, со стороны трубы оказывают влияние на скорость всего потока. Слой жидкости, прилегающий к стенке трубы, не движется и его скорость равна нулю. Внутренние слои жидкости движутся со скоростями, непрерывно возрастающими к центру трубы и достигающими максимального значения , как показано стрелками на рис.1.

Рис. 1.

Так как все промежуточные слои находятся в одинаковых условиях, скорости частиц жидкости  от слоя к слою изменяется на одинаковую величину и модуль градиента скорости вдоль радиуса  есть величина постоянная:

,

где

Механизм возникновения внутреннего трения можно объяснить сле­дующей моделью. Пусть два соседних слоя жидкости движутся с разными скоростями. Молекулы при тепловом движении из одного слоя будут попадать в другой, перенося при этом свой импульс упорядоченного  (направленного) движения. В результате обмена молекул между слоями, движущимися с различными скоростями, импульс упорядоченного движения будет уменьшаться для слоя движущегося быстрее, а для медленнее движущегося — увеличиваться. Это означает, что слой, движущийся быстрее, тормозится, а движущийся медленнее ускоряется.

Сила внутреннего трения между слоями жидкости описывается законом Ньютона

,

где F – модуль силы внутреннего трения; S – площадь соприкосновения слоёв; η – динамическая вязкость жидкости. В системе единиц измерений СИ динамическая вязкость измеряется  в  Па·с, а  в системе единиц СГС – в «пуазах» – г/(см·с).

У большинства жидкостей с ростом температуры вязкость уменьшается. Вязкость газов с увеличением температуры T растет примерно как .

Вязкость газов почти не зависит от давления. Казалось бы, с понижением давления и, соответственно, уменьшением плотности газа, должно уменьшаться число столкновений между молекулами. Следствием чего должно быть уменьшение числа молекул, переходящих из одного слоя газа в соседний слой и передающих свои импульсы молекулам в соседнем слое. В действительности при понижении давления средняя длина свободного пробега молекул увеличивается, и в результате молекулы, переносящие импульсы из одного слоя в другой, могут воздействовать на более удаленные области соседнего слоя. Эти два механизма точно компенсируют друг друга. Поэтому с изменением давления вязкость газа остается постоянной.

При обычных условиях любое течение жидкости сопровождается проявлением действия сил внутреннего трения. Однако, при температуре среды вблизи 0 K возможно такое явление, как сверхтекучесть. При атмосферном давлении и температуре ниже 4,2 K гелий превращается в жидкость. Когда же температура становится ниже 2,19 K, вязкость части жидкости обращается в нуль. В таком состоянии сверхтекучая жидкость может проникать через малые отверстия быстрее, чем газообразный гелий. В сверхтекучей жидкости работа сил вязкости равна нулю и атомы такой жидкости скользят относительно друг друга без энергетических потерь и могут быстро переносить возмущения по всей жидкости. Поэтому сверхтекучий гелий  проводит тепло лучше любого другого вещества, например, в сто раз быстрее меди.

Наряду с термином «динамическая вязкость» при описании движения вязкой среды используется термин «кинематическая вязкость”. Кинематическая вязкость  определяется как

,

где ρ – плотность среды. В системе единиц измерений СИ кинематическая вязкость измеряется в м²/c, а  в системе единиц СГС – в  cм²/c.

В таблице 1 даны значения величин η и  для воздуха и некоторых жидкостей при температуре t = 20⁰ C:

Таблица 1

Вещество	η, Па·с	, м2/с
Воздух	1,81·10-5	1,5·10—5
Вода	1,0·10-3	1,0·10-6
Спирт  этиловый	1,192·10-3	1,51·10-6
Глицерин	0,83	6,91·10—4

 

Вернемся снова к рассмотрению стационарного течения вязкой сре­ды по трубе. Мысленно выделим цилиндр, расположенный вдоль трубы  длиною L и радиусом r (рис.2, а).

А	б
Рис. 2

Скорость частиц жидкости в разных точках поперечного сечения трубы различна. Она зависит от расстояния до стенок. С внешней стороны на единицу поверхности цилиндра действует сила вязкости

,

на всю поверхность рассматриваемого цилиндра сила  F :

.

Пусть давление  в первом поперечном сечении трубы больше давления  во втором поперечном сечении. Так как движение частиц жидкости происходит с постоянной скоростью, то сила  должна уравновешивать разность сил давлений и  на торцах цилиндра. Следовательно,

где  .

Отсюда

.                                        (1)

Интегрируя выражение (1), получаем

,                                      (2)

где С – постоянная величина.

У стенок трубы  и скорость частиц жидкости . Из выражения (2) следует, что постоянная С имеет значение

.

Тогда зависимость скорости направленного движения частиц жидкости от ра­диуса трубы принимает вид

,                          (3)

где — разность давлений.

Максимальная скорость движения частиц жидкости по оси трубы при r=0:

.                                           (4)

Чтобы найти массу жидкости, протекающей через все поперечное сечение трубы, нужно разбить сечение на тонкие кольца радиусом r и толщиной dr (рис.2, б). Через площадь такого кольца  в единицу времени протекает масса жидкости , где  — плотность жидкости.

Учитывая (3), определяем всю массу жидкости, протекающей через поперечное сечение  трубы в единицу времени,

.

Окончательно получаем

.                                               (5)

Масса жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, пропорциональна четвертой степени радиуса трубы. Формулу (5) эмпирически получил Пуазейль в 1840 году и она была теоретически выведена Стоксом в 1845 году.  Течение вязкой среды иногда называют «пуазейлевым» течением.

С другой стороны, масса жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, равна

,                                                 (6)

где — средняя скорость движения частиц жидкости (газа) или скорость потока жидкости (газа).

Приравнивая правые части выражений (5) и (6), получаем

.                                                (7)

Сравнивая выражения (4)  и  (7), находим, что максимальная скорость движения частиц жидкости (газа)

.                                                   (8)

Из выражения (7)  получаем значение динамической вязкости жидкости (газа)

Динамическую вязкость газа можно определить и другим способом, исходя из молекулярно-кинетических представлений, согласно которым

,                                             (9)

где  ­ средняя скорость теплового движения молекул; — средняя длина свободного пробега молекул; – плотность газа.

В формуле (9) и далее для скорости теплового движения молекул используется обозначение .Это сделано для того, чтобы не путать скорости направленного движения частиц жидкости (газа) со скоростью теплового движения молекул.

Учет сил притяжения и отталкивания между молекулами газа приводит к более точной формуле:

.                                      (10)

Значение средней скорости теплового движения молекул находится по формуле

,                                              (11)

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура газа; m₀ – масса молекулы.

 

 

 

 

Из уравнения (10) можно определить среднее значение длины свободного пробега молекул:

 .                                            (12)

Значение  позволяет определить эффективный диаметр молекулы

,                                               (13)

где  n – число молекул в единице объема.

На основании кинетической теории можно найти теоретическое приближенное значение коэффициента диффузии молекул газа

.                                                  (14)

Сравнивая (14) с выражением для вязкости (9), находим, что

Вводя поправку, учитывающую распределение скоростей молекул газа по закону Максвелла, получаем более точное выражение для коэффициента диффузии, который можно определить экспериментально:

.                                                (15)

Таким образом, определив  вязкость газа, можно найти важные газокинетические параметры: среднюю длину свободного пробега молекул , эффективный диаметр молекулы d и коэффициент диффузии D молекул газа.

Рассмотрен случай вязкого течения газа по трубе, которое осуществляется при выполнении условия, что средняя длина свободного пробега молекул много меньше радиуса канала. При низких давлениях, когда длина свободного пробега сравнима и больше характерного размера канала, столкновения между молекулами газа будут значительно реже, чем столкновения между молекулами и стенками канала. Такое течение газа носит название «молекулярного». Существует и промежуточный тип течения. Таким образом, в зависимости от величины безразмерного параметра, называемого «числом Кнудсена», равного отношению средней длины свободного пробега молекул газа к радиусу трубы, описание течения газов через трубы  разделяют на три части:

при  <0,01 ­течение “вязкостное”;

при  >1,00 ­течение “молекулярное”;

при 0,01 <    <1,00 ­ промежуточный тип течения.

При выводе формулы  Пуазейля (5) были сделаны следующие допущения:

— газ рассматривался как сплошная несжимаемая среда;

— течение полностью сформировано,  т.е. распределение скоростей частиц газа  по любому поперечному сечению  постоянно по всей длине трубы;

— скорость частиц газа  у стенки трубы равна нулю.

Чтобы установить значения этих допущений, выясним условия, при которых они становятся существенными.

Известно, что сжимаемостью газа  можно пренебречь, если

.                                                 (16)

Здесь М – «число Маха» для течения, определяемое как отношение максимальной скорости движения частиц газа  к скорости звука c в газе, которая для воздуха при комнатной температуре равна 340 м/с:

При этом труба должна быть достаточно длинной, чтобы выполнялось второе допущение, т.е. чтобы течение было полностью сформировано.

Когда газ  втекает в трубу из большого объема, распределение скоростей по входному сечению приблизительно однородно. По мере прохождения газа по трубе за счет сил внутреннего трения распределение скоростей частиц газа по сечению изменяется. Расчеты показывают, что течение газа  становится полностью сформированным на расстоянии  от входа в трубу

где r₀  – радиус трубы; Re – «число Рейнольдса» для потока — безразмерный параметр, который определяется следующим образом:

,                                               (17)

где ρ – плотность газа; η – динамическая вязкость; — средняя скорость движения частиц газа по сечению или скорость потока газа.

Число Рейнольдса (17) определяет отношение энергии объема газа к работе сил вязкости при движении этого объема газа. Чем меньше Re, тем большую роль играют силы вязкости в движении газа.

Число Рейнольдса является единственной безразмерной комбинацией параметров, определяющих течение вязкой жидкости (вязкого газа) по трубе. Действительно, среда полностью определяется плотностью и вязкостью, а само течение средней скоростью и радиусом канала. Такие безразмерные комбинации играют большую роль при моделировании различных явлений. В большинстве случаев моделирование процессов основано на рассмотрении физически подобных явлений. Изучение интересующего нас натурного явления мы заменяем изучением физически подобного явления, которое удобнее и проще осуществить.

Два физических явления называются подобными, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой.

В теории размерности и подобия показано, что для всякой совокупности подобных явлений все соответствующие безразмерные характеристики (безразмерные комбинации размерных величин) имеют одинаковое численное значение. Верно и обратное, т.е. если все соответствующие безразмерные характеристики для движений одинаковы, то эти движения подобны. Заметим, что моделирование процессов широко применяется при проектировании самолетов, кораблей, дамб, плотин, мостов и т.д.

В зависимости от рассматриваемых явлений применяются и другие безразмерные комбинации физических параметров, например, «число Фруда», «число Струхаля», «число Прандтля» и т.д.

Вернемся к рассмотрению движения жидкости (газа) по трубе. Для всякой задачи о движении вязкой жидкости (вязкого газа) в стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых параметрах среды ,  и ее течения , , но не всякое решение уравнений движения может реально существовать в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, а быть еще и устойчивыми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, возникающее в потоке возмущение стремится возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может. Математическое исследование устойчивости крайне сложно. Для течения в трубе круглого сечения полное теоретическое описания устойчивости еще отсутствует.

Физически переход от стационарного течения вязкой жидкости (вязкого газа) к нестационарному (неустойчивому) характеризуется чрезвычайно нерегулярным, беспорядочным изменением скорости частиц газа со временем в каждой точке потока. Такое же нерегулярное изменение скорости  частиц  газа имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени.

Для всех «пуазейлевых» течений существует критическое число Рейнольдса Re, определяющее границу устойчивости или, другими слова­ми, границу перехода от стационарного течения к турбулентному. Для трубы круглого сечения незатухающая турбулентность наблюдается уже при Re ≈ 2000. Следовательно, формула Пуазейля (5) справедлива лишь для области параметров, где Re < 2000.

 

Описание установки

 

Изучение течения воздуха через капилляр при атмосферном давлении осуществляется на установке, изображенной на рис.3.

5 4 3 1           h 2

Основной частью экспериментальной установки является цилиндри­ческая делительная воронка 1, укрепленная на штативе. Для делитель­ной воронки имеется несколько резиновых пробок 4, в которые встав­лены  трубки со стеклянными капиллярами 5, через которые атмосферный воздух может поступать в делительную воронку 1.  Стеклянные капилляры имеют различные диаметры внутренних каналов. С целью увеличения механической прочности капилляры помещены в медные трубки. Сбоку, вплотную к делительной воронке 1, расположена измерительная линейка 3, которую можно перемещать вдоль делительной воронки. Под отводную трубку с краном 2 устанавливается мерный стакан.

Рис. 3

Принцип действия установки заключается в следующем: если в дели­тельную воронку налить воды, закрыть её глухой пробкой и открыть кран, то из воронки вытечет некоторое количество воды под действием гидростатического давления и установится равновесие, при котором часть воды будет оставаться в делительной воронке. Очевидно, что в этом случае давление внутри сосуда  будет равно давлению  атмосферного воздуха .

Давление  внутри сосуда будет складываться из давления  над  водой и давления  столба воды высотой h от крана 2 до поверхности воды в делительной воронке 1. Условие равновесия можно записать в виде

,                                                   (18)

где ;  – плотность воды;  – ускорение свободного падения.

Если теперь глухую пробку заменить пробкой с капилляром, то равен­ство (18) станет динамическим, т.е. оно будет выполняться в каждый момент времени при , но с течением времени величины  и  будут меняться.

 

 

Действительно, из (18) следует, что на концах капилляра существует разность давлений

вызывающая течение воздуха по капилляру. Объем атмосферного воздуха, поступающего в делительную воронку за время , равен объему воды, вы­текающей за это время из делительной воронки. При этом уменьшается высота h столба воды и давление . Соответственно  изменяется и давление , но уравнение (18) всегда время выполняется.

Допустим, что первоначальная высота столба воды была , а через промежуток времени  эта высота стала равной . В начальный момент времени на концах капилляра разность давлений воздуха была равна

,

по истечению времени

Если объем вытекающей воды достаточно мал, а диаметр делительной воронки велик, изменение высоты столба воды будет небольшим, и можно принять, что течение воздуха по капилляру за время наблюдения  происходит при постоянной средней разности давлений на концах капилляра

,                               (19)

где  и  — высоты столба жидкости, соответственно, в начале и в конце наблюдения;   — плотность воды;   – ускорение свободного падения.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Закрыть кран делительной воронки и налить в неё воду до уровня 250-320 мм.
2. Вставить плотно в горло делительной воронки пробку с капилляром так, чтобы нижний конец капилляра не касался воды.
3. Поставить под делительную воронку любую емкость объемом 100 -200 мл и открыть кран. После того, как течение воды стабилизируется, можно приступить к измерениям.
4. Заменить емкость под делительной воронкой на мерный стакан и одновременно включить секундомер. В этот же момент времени отметить высоту водяного столба h₁ по линейке и записать в табл.1.
5. Спустя промежуток времени Δt = 10 мин перекрыть кран воронки и выключить секундомер. Отметить высоту водяного столба h₂ по линейке. Результат измерения записать в табл.1.
6. Измерить температуру T и давление в помещении и записать в табл.1.
7. По измеренному объему воды, вытекшей из делительной колонки в мерный стакан за время Δt, определить среднюю скорость движения частиц воздуха или скорость потока воздуха в капилляре:

где  – площадь поперечного сечения капилляра.

8. Вычислить максимальную скорость частиц воздуха по формуле (8).
9. Вычислить среднее значение разности давлений воздуха на концах капилляра по формуле (19), принимая кг/м³ и  м/с². Результат расчета занести в табл.1.
10. Определить динамическую вязкость воздуха по формуле

где  – радиус; – длина капилляра. Результат расчета записать в табл.1.

10. Вычислить среднюю скорость теплового движения молекул по формуле (11) и среднюю длину свободного пробега молекул воздуха по формуле (12), принимая среднюю молярную массу воздуха М = 0,029 кг/моль.
11. Найти эффективный диаметр d молекулы воздуха по формуле (23), предварительно вычислив число молекул воздуха в единице объема по формуле
12. Вычислить плотность атмосферного воздуха по формуле

где R – универсальная газовая постоянная. Результаты расчетов занести в табл.1.

13. Рассчитать теоретическое и экспериментальное значения коэффициент диффузии молекул воздуха по формулам (14), (15) и занести в табл.1.
14. Найти число Маха M по формуле . Используя неравенство определить возможность пренебрежения сжимаемостью воздуха при его течении в данных условиях.
15. Найти число Рейнольдса Re по ормуле (17). Сравнить полученное число Re со значением 2000 и установить: является ли течение воздуха стационарным, либо турбулентным.

Таблица 1

, м	, м	T, K	, Па	, м3	, с	, м/с	, м/с	, Па
, Па·с	d, м	, м/с	, м	, кг/м3	, м2/c	, м2/c	M	Re

 

18. Сравнить экспериментально рассчитанные значения физических величин , d, , , со значениями соответствующих величн, приведенных в табл. 2. Оценить степень расхождения сравниваемых физических величин.
19. По найденному числу Рейнольдса Re для течения воздуха через капилляр определить разность давлений на концах трубки длиной L = 150 мм и радиусом мм при течении через нее воды, используя формулу

.

Таблица 2

, Па·с	d, м	, м	D, м2/c
1,81·10-5	3,74·10-10	6,7·10-8	1,7·10-5

 

Контрольные вопросы

 

1. При каких условиях жидкость и газ можно объединить одним термином «жидкость»?
2. Какое течение называется вязким?
3. Каков механизм внутреннего трения?
4. Что называется средней длиной свободного пробега молекулы?
5. Какие допущения принимаются при выводе формулы Пуазейля?
6. Что определяет число Маха?
7. Для чего используется число Рейнольдса?
8. Какие явления называются физически подобными?
9. Какое течение называется турбулентным?