Эксперт

Сергей

Задать вопрос

Мы готовы помочь Вам.

1. Дайте определение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами

2. Дайте понятие характеристического уравнения

3. Укажите три возможных вида решения ЛОДУ в зависимости от корней характеристического уравнения

4. Опишите, как найти общее решение ЛНДУ

1. Перечислите виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y’
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
2. Сформулируйте алгоритмы решения каждого вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y’
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
.
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
1. Какие дифференциальные уравнения называют линейными
Дифференциальные уравнения вида y(n) + p1(x) у(n-1) + … + pn(x)y = f(x), где у = y(x) — искомая функция, y(n), у(n-1),…, y’ — её производные, a p1(x), p2(x),…, pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции.
2. Что называется фундаментальной системой решения линейных дифференциальных уравнений
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y1(x), y2(x), …, yn(x) его n частных решений.
3. Сформулируйте задачу Коши для дифференциальных уравнений высших порядков
Задача, в которой требуется найти частное решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным условиям

называется задачей Коши или начальной задачей для дифференциального уравнения высшего (n-го) порядка.
4. Чем отличается внешний вид однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения высшего порядка
Линейным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных.
Если , то уравнение называется линейным однородным уравнением или уравнением без правой части.
Если же , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением или уравнением с правой частью.
1. Перечислите виды дифференциальных уравнений первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
2. Укажите виды дифференциальных уравнений первого порядка, которые решаются заменой переменных, запишите эти замены
Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Дифференциальные уравнения приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид .
ОДУ или преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен или . Например, дифференциальное уравнение после замены принимает вид .
Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x2 или y2 числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям или соответственно.
Дифференциальные уравнения преобразуются к только что рассмотренным ОДУ или , если ввести новые переменные , где — решение системы линейных уравнений и провести некоторые преобразования.
Например, дифференциальное уравнение после введения новых переменных преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными .
3. Сформулируйте алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка

1. Дайте понятие криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b.

2. Расскажите, как определяется площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла в случае, когда функция, ограничивающая трапецию, не является неотрицательной
1. Разобьем отрезок точками на частичные отрезки.
2. В каждом отрезке (где k=1, 2, …, n) выберем произвольную точку .
3. Вычислим площади прямоугольников, у которых основания есть отрезки оси абсцисс, а высоты имеют длины . Тогда площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, равна .
Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции.
3. В чем отличие в нахождении объемов тел вращения, полученных при вращении функции относительно осей ох и оу